38 BJÖRLING, OM EQVIV. T. HÖGRE SINGTJLARITETER I ALGEBR. KURVOR. 



Om y , y , y . . . . y äro de m särskilda y-värdena i (1). 

 så år det antal punkter, denna gren har i O gemensamma med 

 sin första polar, d. v. s. 23' + 3x' = summan af exponenterna- 

 för de lägsta potenserna af x i de m(m — 1) differenserna 

 y — y , der a och ß betyda successivt 1, 2, 3 . . . . m. 



Några anmärkningar må förutskickas beviset för denna sats. 



Antagom, att y = f(%), y = F(x) (der f och F betyda fullt 

 bestämda algebraiska funktioner) äro eqvationer för tverine, ge- 

 nom O gående kurvor. Att dessa hafva i O ett visst antal r 

 punkter gemensamma, betyder som bekant, när r är helt tal, 



dels, analytiskt, att eqvationssystemet y = f(x), y = F{x) 

 satisfieras af r värdesystem x = y — 0; 



dels, geometriskt, att kurvorna hafva i O en kontakt af 

 ordningen r — 1, eller, som är detsamma, att det mellan dem 

 belägna segmentet af en rät linie, hvars afstånd från O är oänd- 

 ligt litet af första ordningen och som ej sammanfaller med någon- 

 dera tangenten, är oändligt litet af ordningen r 1 ). 



Men såväl det ena som det andra beror tydligen ytterst 

 derpå, att exponenten för den lägsta potensen af x i differensen 

 F(x) — f(x) är r. Detta sistnämnda är alltså den egentliga 

 betydelsen af uttrycket, att kurvorna hafva i O r gemensamma 

 punkter, och antalet af dessa punkter måste fördenskull alltid 

 angifvas af nämnda exponent, äfven då den är britten 2 ). 



Består hvarclera kurvan af nere partialgrenar, är naturligtvis 

 antalet af bådas gemensamma punkter = summan af alla dem, 

 hvilka hvarje särskild gren af den ena har gemensamma med 

 hvarje gren af den andra. 



') Se t. ex. Moigno, Calcul Différentiel s. 260. 



2 ) Hr Cayley betraktar detta (1. c. sid. 216) såsom sjelfklart. För att döma 

 af ett citat hos Hr Zeuti-ien (1. c. sid. 213) synes ett bevis derför vara lem- 

 nadt af M. Halphen i »Bulletin de la Société mathém. de France» I, 

 s. 133; en' afhandliug, som förf. ej haft tillfälle att se. ■ — Det torde ej be- 

 höfva erinras, att begreppet »kontakt af bruten ordning» länge varit användt 

 inom vetenskapen. 



