40 BJÖRLING, OM EQVIV. T. HÖGRE SINGULARITETER I ALGEBR. KURVOR. 



vi alltså först faktorn y — y , cl. v. s. sätta y = y , så försvinna 

 alla termer i (20) utom den första, och denna eqv. blir alltså 



( 21 ) jzr^ eller (y—y)(y — y z ) • • • • (y— yj = °- 



Men antalet skärningspunkter mellan den första partial- 

 grenen y = y och kurvan (21), d. v. s. alla de öfriga partial- 

 grenarne, är på grund af det föregående = summan af exponen- 

 terna för de lägsta potenserna af x i alla differenserna 



y x -y^y x -y^y;-y, y.-yj 



man erhåller på samma sätt antalet skärningspunkter mellan den 

 andra partialgrenen y — y och polarkurvan (20) = motsvarande 

 summa för alla differenserna 



o. s. v., 

 hvarmed satsens sanning är ådagalagd v ). 



§ 4. Det andra hithörande teoremet, som nu skall bevisas, är 



(22) a' = m — 1. 



Af serien i (1) medtaga vi så inånga termer, som äro nöd- 

 vändiga för att individualisera h varje särskild partialgren. Den 

 sålunda erhållna kurvan, låt vara 



n. p r_ 



(23) y = a ((*))" + b{{x)f +.... + d((x)) m , 



måste i O förhålla sig på alldeles samma sätt som (1), enär 

 man, genom att taga absoluta värdet af x tillräckligt litet, kan 

 göra skilnaden mellan bådas ordinator huru liten som helst. 

 Kurvan (23) är unicursal; man kan nemligen sätta 



. . m n p , r 



(24) x = a , y = acc + ba + + da , 



der « är en föränderlig parameter. 



') Detta bevis öfverensstämmer i hufvudsak med Hr Cayleys, men vi hafva 

 här undvikit det fel, hvilket kan sjelf (1. c. sid. 220, noten) påpekar, nem- 

 ligen att utsträcka den metod för första polarens bildande, som är användbar 

 endast i det fall, att fundamentalkurvans eqvation är gifven i rationel och 

 hel form, till en händelse, då detta vilkor ej är uppfyldt. 



