ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 78, N:0 7. 41 



Vi betrakta nu den allmänna kurva, hvars koordinater x, y 

 äro rationela funktioner af en dylik parameter a, kortligen 



(25) x = rp (a), y = yj(a), 



och vilja bevisa, att hvarje gemensam a-rot till eqvationerna 



(26) (f'{a) = 0, yj'(a) = 

 angifver en stationär punkt på densamma 1 ). 



En rät linie 



(27) tx + uy = 1 



skär kurvan i punkter, livilkas parametervärden bestämmas af 

 eqvationen 



(28) t(f(a) + u y(a) = 1. 



Ett sådant parametervärde är dubbelt eller faller samman 

 med sitt nästföljande, såframt tillika 



(29) tcp'(a) + uip'(a) = 0. 



Men äro för ett visst a eqvationerna (26) satisfierade, så 

 är (29) alltid sann, hvilka värden t och u än må hafva, d. v. s. 

 hvarje rät linie, som går genom den mot detta a-värde svarande 

 punkten, skär kurvan i två sammanfallande punkter. Detta a- 

 värde måste då angifva en stationär punkt; en vanlig dubbel- 

 punkt bestämmes nemligen af två olika, or, och det ena af dessa, 

 motsvarande den ena genom dubbelpunkten gående grenen, satis- 

 fierar derföre ock ingalunda (29) — annat än naturligtvis för 

 de speciella t och u, som bestämma denna grens tangent. 



I det här förevarande enskilda fallet (24) hafva naturligtvis 

 eqvationerna 



(30) — = 0, ^ = 



v y du da 



x ) Att så måste vara fallet, kan man ana redan deraf, att ett dylikt a-värde 

 gör i allmänhet båda koordinaterna på en gång till maxima eller minima. 

 Som detta sistnämnda begrepp dock ej utan svårighet kan tillämpas, när 

 fråga är om komplexa värden på et, x och y, och en dylik bevisföring der- 

 jemte skulle, just i det här förevarande fallet, kräfva en särskild undersök- 

 ning af funktionernas (/' och \]> högre derivator, hafva vi föredragit det här 

 framställda beviset. Detsamma öfverensstämmer i hufvudsak med det af 

 Clebsch i hans bekanta afhandling »Über diejenigen ebenen Curven, deren 

 Coordinaten rationale Functionen eines Parameters sind« (Boechardts Jour- 

 nal, Bd. LXIV, s. 43) lemnade. 



