42 BJÖRLING, OM EQVIV. T. HÖGRE SINGULARITETER I ALGEBR. KURVOR. 



m — 1 gemensamma rötter a = 0, och dermed är satsen (22) 

 bevisad ] ). 



§ 5. Det återstår att betrakta det fall, då kurvan har 

 nere grenar i O. Om i allmänhet en kurva är oegentlig, d. v. s. 

 sammansatt af en eller nere egentliga, blir naturligtvis hvarje 

 för två af dessa sednare gemensam punkt eller tangent en dubbel- 

 punkt eller dubbeltangent för den sammansatta kurvan; deremot 

 kan denna sednare uppenbarligen ej hafva andra stationära punk- 

 ter eller tangenter än dem, som förefinnas i dess särskilda be- 

 ståndsdelar. Då nu hvarje kurva med singularitet i O der för- 

 häller sig så, som vore den sammansatt af de särskilda grenar, 

 hvilka medelst den Newton-Cramer'ska metoden skiljas från 

 hvarandra, har man således blott att derpå tillämpa nämnda 

 grundsats. 



Såsom exempel betrakta vi det i § 1 omnämnda fallet; vi 



vilja söka d\ x\ t', i för kurvans 



(ol) y = ax 



singularitet i O, då m = m'q, n = u'q, och m, n äro relativa 



primtal (in < n). 



Enhvar af de särskilda q kurvorna 



j_ 



(32) y"'=((a))V 



') Ett annat och måhända bättre bevis för densamma torde kunna åstadkommas 

 på följande sätt. 



Punkten O är en (m — l)-faldig kritisk punkt för funktionen y, defini- 

 erad af (1); hvart och ett af de m funktionsvärdena y x , y 2 . . . . y m öfver- 

 går i det följande, då x beskrifver en elementar-kontur kring O. Alltså kan 

 denna punkt betraktas som eqvivalent med m — -1 (ej färre) enkla kritiska 

 punkter, hvilka enligt vanligt bruk (se t. ex, Briot-Bouquet, Theorie d. 

 fonct. ellipt. sid. 52) skulle betecknas 



°\ °l°l ■ ■ ■ ■ °L- 



Men en enkel kritisk punkt af en algebraisk kurva är antingen kontakts- 

 punkt för en från P dragen tangent eller ock stationär punkt. Det förra 

 kan här ej ifrågakomma, ty kurvan (1) tangerar i O a:-axeln; alltså måste 

 de m — 1 kritiska punkterna vara stationära. H. S. B. 



Häremot kan emedlertid invändas, att ehuru man visserligen i allmänhet 

 betraktar en (m — l)-faldig kritisk punkt såsom sammansatt på nämnda sätt, 

 det likväl icke är absolut nödvändigt att tänka sig den så; i dess samman- 

 sättning kunna ju t. ex. äfven en eller flere cykler tänkas ingå. Antagligen 

 torde dock detta inkast kunna vederläggas. 



