60 MITTAG-LEFFLER, OM INTEGRATION AF LINEÄRA DIFF.EaV. 



vara en linear homogen difFerentialeqvation af andra ordningen 

 och antag att y och y bilda ett fundaraentalsystem af parti- 

 kulära integraler till densamma. 

 Sätt sedan 



2 2 



y = z ; y II — z ; y = z . 



•^1 1 '^V^2 2 ^^2 3 



Det är då tydligt att 



]:o h^arje produkt af två partikulära integraler till (1) nöd- 

 vändigt kan sättas lika med 



c z + c z + c z 



11 2 2 3 3 



der c , c , c betyda vissa konstanter, 

 och att 



2:o vice-versa hvarje uttryck af formen 



c z + c z + c z 



11 2 2 3 3 



nödvändigt kan sättas lika med produkten af två parti- 

 kulära integraler till (1) 

 samt att 



3:o de tre qvantiteterna z , z , z icke kunna vara lineärt be- 



' 12 3 



roende af hvarandra eller att en likhet af formen 



c z + c z + c z ==0 



112 2 3 3 



icke mellan dessa qvantiteter kan ega rum. 

 Dessa tre satser härflyta omedelbart derur, att hvarje inte- 

 gral till (1) kan bringas under formen 



c y + c ?/ , 

 ri r2 



och derur att mellan y och y , hvilka tillsammans utgöra ett 

 fundamentalsystera af integraler till (1), icke någon relation af 



formen 



c y + c y =0 



11 2 2 



kan ega rum. 



Sätt nu för ett ögonblick 



z =^ c z + c z + c z 



11 2 2 3 3 



och eliminera c , c , c mellan de fyra eqvationerna 



