62 MITTAG-LEFPLBU, OM INTEGRATION AF LINEÄRA DTFF.EaV. 



De båda diflferentialeqvationerna (1) och (3) stå således i 

 det förhållande till hvarandra att 



l:o produkten af tvänne integraler hvilka som helst till (1) 

 nödvändigt är en integral till (3) 

 och att 



2:o hvarje integral till (3) nödvändigt är lika med produkten 

 af två integraler till (1) 

 samt att 



3:o om y ocli y äro ett fundamentalsystem af integraler 



till (1) 



2 2 



z — y ^ z = y y , z = y 

 1 '^i 2 •- r2 3 '^1 



tillsammans bilda ett ftindaraentalsystem af integraler 

 till (3). 

 Ehuru nu differentialeqvationen (3) är af högre ordning än 

 (1), kan det naturligtvis lätt hända, att eqvationen (3) Ivan 

 omedelart integreras, ehuru detta icke varit fallet med (1). Antag 

 att z ^ z ^ z utgöra ett fundamentalsystem, hvilket som helst, af 

 integraler till (3). Man har då nödvändigt 

 y=Az+Az+Az\ 



\ :' '' " (4) 



y--^Bz+Bz+Bz\ 



■^2 11 2 2 33j 



hvarest med y och y förstås ett fundamentalsystem af inte- 

 graler till (1), och A ^ A ^ J. , B , B , B äro vissa konstanter. Om 

 nu (1) tillhör den klass af differentialeqvationer, hvilka blifvit 

 undej'sökta af FucHS, och hvilka endast ha regulära integraler, 

 behöfver man för att bestämma konstanterna A , A , A , B , B , B 



12 3 12 3 



endast medelst den obestämda koefficientmetoden beräkna de 

 första koefficienterna i de efter potenser af (a' — a) fortskridande 

 potensserier, hvari y och ?/ för ett ändligt värde på a och för 

 närmaste angifningen af a kunna utvecklas, samt härefter införa 

 dessa uttryck på y ocli ?/ i (4), Om man nemligen sedan till 

 höger och till venster om likhetstecknet utvecklar efter potenser 

 af (a- — a) samt sätter koefficienterna för samma potenser lika 



