66 MITTAG-LEFFLER, OM INTEGRATION AF LINEÄRA DIFF.EQV. 



Inför vidare funktionerna 



/((>) = (>((>- O • • • ■ (Q-^^ + ') ^- (>((>—!) • • • • (C-^^ + 2)« 



+ ^(Q — l)....{Q — l + '6)a^^ + + a. 



+ ()(,o — 1) .... (()—;. + 3)a^^ + + a^^ 



10 



o 



+ (>((>— 1) • • • • {q—^^ + 3)«2„ + + «j 



Frobenius har visat, huruledes om man sätter 



och härefter enligt recursionsformlerna 

 9ÅQ) = O 



^/((> + i) + ^/,(c) = o 



\(8) 



9 /(q + ^)+ 9^,J,{Q + .-!) + ....+ 9j\,._,{Q + 1) + <((>) 



beräknar (jvantiteterna y g^ . . . g potensserien 



() + )' 



v 



konvergerar för närmaste omgifningen af a- = O samt utgör en 

 integral till differentialeqvationen (7). 



Om nu, som i vårt fall, differentialeqvationen (7) är af andra 

 ordningen och eqvationen /(()) = O har två skiljda rötter, så kan 

 det inträffa, antingen att differensen mellan dessa rötter icke ar 

 ett helt tal, eller också att detta är fallet. Om differensen mellan 

 båda rötterna icke är något helt tal, erhålles alltid medelst 

 rekursionsformlerna (8) ett fundamentalsystem af två partikulära 

 integraler 



