68 MITTAG-LEFFLER, OM INTEGRATION AF LINEÄRA DIFF.BQV. 



eqvation alltid för omgifningen af ett oändlighetsställe a kan 

 skrifvas under formen 



00 



{x — a) ^ c {x — a) 



hvarest o betyder den mindre af de båda rötterna till den emot 

 a svarande karakteristiska likheten /(^) = O, och JS c {x — a) 

 konvergerar för närmaste omgifningen af a. Produkten af tvänne 

 integraler, hvilka som helst, är följaktigen alltid en funktion 

 af rationel karakter. Samtliga integraler till den emot differen- 

 tialeqvationen 



svarande differentialeqvationen af tredje ordningen. 



2 



z" + ^p{x)z" + {p'{x) + 2p{x) + 4:q{x))z + {'^p{x)q{x) 



+ 2q'{x))z = O 

 äro således funktioner af rationel karakter. Men det är nu, 

 möjligt att genom metoder alldeles analoga med dem, hvilka 

 Hermite begagnat för att integrera den LAME'ska difFerential- 

 eqvationen, också integrera hvarje annan linear och homogen 

 differentialeqvation, hvars koefficienter äro sådana dubbelperio- 

 diska funktioner af den oberoende variabeln x, att differential- 

 eqvationen har ett fundamentalsystem af partikulära integraler, 

 hvilka samtliga äro af rationel karakter. Härmed är då också 

 gifvet, huru den ifrågavarande differentialeqvationen 



y" + p{x) . y' + q{x)y = O 

 alltid kan integreras. 



Betrakta vi nu specielt den BmosCHl'ska eqvationen 



y = \ ^—k snx + hyy (9> 



så äro här samtliga oändlighetsställen inbegripna i uttrycket 



i K' + 2mK + 2m'iK\ 

 hvarest m och m' äro hela tal, hvilka som helst. Funktionerna 

 /(c)' t {q) ■ • • • f (q) • . • • äro desamma för hvart och ett af 



