70 MITTAG-LEFFLER, OM INTEGRATION AF LINEÄRA DIFF.EaV. 



Den emot (9) svarande likheten af tredje ordningen är 



2 2 2 



z" = {n(n + 2) k sn ^ + 4:h)z' + n{n + 2)k snc-jjcn.t-dn^;. ^: . . (11). 



Jag har i franska Institutets »Comptes Rendus» — 16 Fe- 

 bruari detta år — bevisat, att en linear och homogen differential- 

 eqvation med dubbelperiodiska koefficienter, hvilken har en en- 

 tydig integral, också nödvändigt måste ha en integral ^(^), 

 hvilken äfven är entydig, och dessutom har egenskapen 



^{ä^ + 2K) = ^Lcpix); (f{x + 2iK') = ,a'. (f{x) . . . (12). 



Har differentialeqvationen en integral af rationel karakter, så 

 finnes äfven en integral q){a:), hvilken har den genom formlerna 

 (12) uttryckta egenskapen, och dessutom är af rationel karakter. 

 En dylik funktion är enligt Hermites terminologi en dubbel- 

 periodisk funktion af andra ordningen. Den emot difi'erential- 

 eqvationen (9) svarande diff'erentialeqvationen af tredje ordningen 

 (11) har nu alltid ett fundamentalsystem af integraler, hvilka 

 äro funktioner af rationel karakter och denna diiferentialeqvation 

 har således åtminstone en integral, som är en dubbelperiodisk 

 funktion af andra ordningen. Den karakteristiska likheten till 

 diff'erentialeqvationen (11) är för hvar och en af oändlighets- 

 ställena, 



iK' + 2mK + 2miK' 



/(^o) = ()((> - \){q - 2) — n{n + 2)(> + n{n + 2) == O 

 och har således de tre rötterna 



fj = 1, o = — w, o = n + 2. 



^1 ^2 ^3 



Häraf följer att eqvationen (11) nödvändigt har till integral 

 antingen en funktion 



gD'"''(D{x) + gD''~'w{x) + ... . + g^^_D 0{,c) + g^^_^^{^), (13). 



uti hvilken 



(J)(x) — — .. -^. , — e 

 och g, g • . . ■ g äro vissa konstanter, eller också någon af de 

 båda funktioner, i hvilka uttrycket (13) för speciella värden på 



