72 MITTAG-LEFFLER, OM INTEGRATION AF LINEÄEA DIFF.EQV. 



h. I differentialeqvationen (11) äro koefficienten för z en jemn 

 funktion och koefficienten för z en udda funktion. Häraf följer 

 omedelbart, att de olika funktionerna / {q). /J^q) . . . med udda 

 ordningsnummer samtliga äro identiskt noll. Häraf följer åter, 

 att af konstanterna g ,g . . . g de med udda ordningsnummer 

 samtliga äro noll. 



Utom likheterna (15) måste emellertid också likheterna (16) 

 vara uppfyllda. I den mellersta af dessa är koefficienten för 

 g lika med noll, ty 1 var en af rötterna till den karakteri- 



M + l 



stiska likheten /((>) = 0. För det fall, att n är ett jemnt tal 

 eller att den Bmoscmska differentialeqvationen öfvergår i den 

 LAME'ska är således den mellersta af likheterna (16) identiskt 

 satisfierad och de båda öfriga bestämma då de begge i f{x) 

 ingående konstanterna X och w. 



För det fall åter, att n är ett udda tal, är den mellersta 

 af likheterna (16) icke längre en identitet, och för att denna 

 likhet skall kunna bestå jemte likheterna (15), måste således 

 determinanten för det lineera formsystemet 



gj\-n + 2)+gfl^-n) = 

 9/(— n + 'å) + gj^{— n + \) = Q 



.V//Ö) ^ 9.JS-^^ + + ^z«./-'^) = « 



vara noll. Den vilkorseqvation för qvantiteten A, hvilken här- 

 igenom erhålles, skiljer sig dock endast skenbart från vilkors- 

 eqvationen (10), ty så snart h har ett värde som satisfierar (10), 

 måste eqvationen (11) ovilkorligen ha en integral af formen (13) 

 och är detta åter fallet, måste den nyssnämda determinanten 

 vara noll. 



Då n är ett udda tal, reduceras dessutom den första af 

 eqvationerna (16) till att bli 



