74 MITTAG-LEFPLER, OM INTEGRATION AF LINEÄRA DIFF.EaV. 



för att erhålla ett fandamentalsystem af integraler till likheten 



/' + py' + qy = o. 



Jag har också serskildt undersökt det fall, dä den kända inte- 

 gralen till den ofvanstående diflFerentialeqvationen af tredje ord- 

 ningen är en konstant. 



Det är lätt att se, att man åt denna integral kan ge en 

 fullkomligt godtycklig form och sedan alltid erhålla en motsvarig 

 genom formlerna (18) integrerbar difFerentialeqvation af andra 

 ordningen. Differentialeqvationen 



z'" + '5pz" + {p' + 2p' + 4^q)z' + {^pq + 2q')z =- O 



är nemligen en linear difFerentialeqvation af första ordningen i 

 afseende på q och om man derföre åt z och åt p ger godtyck- 

 liga former, finnes alltid en motsvarig form för q, sådan att 

 differentialeqvationen 



y" + py' + qy = 

 har till integraler 



2/ = I« • « 



-fpdx 

 dx\ /a 





— fpdx 

 dx\ '2 



Den uppgift, hvilken jag dock nu förnämligast har i sigte, 

 är att finna integrerbara lineära och homogena differentialeqva- 

 tioner af andra ordningen med dubbelperiodiska koefficienter. I 

 stället för att angripa detta problem från den nu antydda all- 

 männa synpunkten, vill jag likvisst här endast sysselsätta mig med 

 en mer speciel fråga. DifiFerentialeqvationen 



y + (a — h a )y + {ßk sn x + ß -^—^ + ß )y = O . . . (19) 



samt de motsvariga diflferentialeqvationer, som erhållas genom 

 att utbyta sn ai mot en,?? och dn^, omfatta alla differential- 

 eqvationer af andra ordningen med dubbelperiodiska koefficienter, 

 hvilka hittills blifvit undersökta. 



Jag vill nu söka framställa de olika former af diflFerential- 

 eqvationen (19), för hvilka den motsvarande differentialeqvationen 



