42 A. BERGERj OM FORMLER I DIFFERENSKALKYLEN. 



(26) '5,,.=^ + ^ + ^^+.... 



Vi låta nu n betyda ett bestämdt helt positivt tal eller noll, 

 samt beteckna med h något af talen 



w + 2, w + 3, H + 4, . . . . ; 

 vidare beteckna vi med 



Wq, Mj, ^2, . • • W;j, U^i + 1 



termerna i serien 



2A, 22^1 (2Ä + I)., 2*^2(2 A + 1)4. 22« +2^„+i (2/i + 1)2« + 2, 



samt finna då 



(27) ^ = "^ , 



och, om r är lika med något af talen 



1, 2, 3, .... 72 — 1, «, 



11, 

 (28) 



«,. + 1 2S2, + 2 (2^» — 2r) {2h - 2»- + 1) 

 Emedan tydligen 



'S2 > 1, ö^ < 1, 7r2 < 10, 



så erhålles af formlerna (27) och (28) 



Un ^ 5 



(29) t<^kT-V 



(30) -- < 



Emedan 



,,. + 1 2/i — 2r 2ä - 2r + 1 



h ^n + 2, r ^n, 

 så erhålles af olikheterna (29) och (30) 



(31) ^<^<1, 



(32) ^<1' 

 hvaraf följer 



(33) Uq < 'iij < ^f2 < . • ■ . <Un < Mn + l, 



och således 



(34) u^ — u^ + u^ — u^ + . . . + (— ])«w„ — ö(— l)'»w„ + i = O, 

 der O < 6 < 1. Härmed är således följande sats bevisad: 



