ÖFTERSIGT AF K, VETENSK.-AKAjD. FÖRHANDLINGAK 18 80, N:0 10, 43 



Om man med li betecknar något af talen 

 n + 2, w + 3, ?z + 4, . . . . , 

 så är 



(35) 2/t — 22^1 (2/i + 1)2 + 2*^2 (2Ä + 1)4 — . . . 



+ (—\)n2-'--Bn{2h + 1)2, — (— l)''22- + 2^,+ ^ ö(2A + l)2«+2 = O, 



der O < ö < 1. 



Om man sätter eqv. (24) under formen 



(36) cos a;=\- — -j-^ ^ ~ 1 . 2 . 3 .4 ^ • ' ' '] = sm ^^^, 



samt utvecklar sin x och cos x i serier, samt utför multiplika- 

 tionen i högra membrum, samt vidare sätter koefficienterna för 



lika med hvarandra, så erhållas formlerna: 

 2.1— 22j5i(3)2 = 

 2.2 — 22^1 (5)2 + 2*^2 (0)4 = O 



(37) { 



\ 



2^—225^(2^ + 1)2+ +(— l)«22«5„(27l+ 1)2„ = 0, 



2(n + 1) — 225j(2»z + 3)2 + . . . 



+ (-l)«22«H-25,,^j(2n+3)2. + 2 = 



Formlerna (37) visa, att likheten (35) gäller äfven för 

 7i = 1, 2, 3, . , . . w — 1, w, 



och för 



/i = n + 1, 



om man i detta fall låter 6 betyda 1. Härmed är följande sats 

 bevisad: 



Om n och h äro två hela tal, som satisfiera vilkoren 

 w >^0, Ä^ 1, 

 så är 

 (38) 2h — 22^^ (2A + 1)2 + . . . + (— 1)" 22»5„ (2/i + 1)2,, 



_ (_ i)n 22«+ 2 e Bn^ l(27l + l)2n + 2 = 0, 



der O < ö <^ 1. 



Af formlerna (37) följer denna sats: 

 Om 8 och Å äro två hela positiva tal, och 



s>_ /i. 



