48 A. BERGER, OM EORMLER I DIFPERENSKALKYLEN. 



Af eqv. (59) och (62) erhålles 



(63) cp (a;) — (f) (a; — 1) = x'' — ^ j^" — {x — ly] — 



,u + 1 



Om x är ett helt positivt tal, så erhålles af eqv. (63) 



'(f{x — l) — (p{x—2) = {x—\Y—^[{cc-~iy—{a;—2Y}- 



(64). 



(^(3)~y(2) = 3--^{3«-2^^} 



;« + 1 



Q^(. + 1 O/t + 1 



2^'' + 1 •^i-i' + 1 



|(y(2)-rp(l)=:.2.«-l{2^^-l^'] ^-j 



Enligt eqv. (3) och (59) är 



<65) (p{l) = \-K,. 



Genom addition af eqv. (63), (64), (65) erhålles 



(66) 1^^ + 2.- + ... +{x~ ly" + xt^ = ^^^ + Y + K,, + q>{x). 

 Sätta vi i eqv. (59) 



sä erhålles 



A: = 00 



V^ 1 



(68) ^ G.) = - \ ^,-T {^ (1 - ^Y + - (1 + ^i' 



k = \ 



(1+ sr + l-(l-2)" + ^ 



[ 



;lt + 1 



eller, om binomialformeln användes, 



^- = 00 7j =00 



A = 1 A = 1 



Om vi nu med n beteckna ett helt positivt tal, hvilket som hälst, 

 eller noll, så är enligt eqv. (38) 



('^0)2*^ = '-^(2A),-'-^(2;0, + . . . -(-])«'-^»{2/0.,..> + 



22« +2^ D 



