18 BJüRLING, OM BRÄNNPUNKTERNAS RECIPKOKA LINIER, 



§ 2. Vi liatVa här förutsatt, att C,,, icke går genom O, I 

 eller J, äfvensom att ingenstädes två i- eller ^"-punkter samman- 

 falla till en. Beteckna vi nu med 



ßj = O, «2 ~ ^ • • • • cf« = O eqv:na för n F-linier 



tagna hurusomhelst, dock så att blott en går igenom enhvar af 

 i- eller ^-punkterna; 



Q^ Uttrycket (x — hf + {ij - k)\ d. v. s. q"- = d 



liniernas 01, OJ eqvation; 



(7;j_2 = O .... den kurva af {n — 2):dra ordningen, som 

 går igenom de n i^-liniernas ofri ga n{n — 2) snittpunkter med 6",,; 



X .... en konstant, 

 så kan under ofvannämnda förutsättning kurvans Cn eqvation 

 skrifvas 



(1) a^a^a-^ . . . or« + x()-C„_2 = 0. ^ 



T. • 1 '11 • O , 1 , (?J — 2)(re + 1) n{n + 2>) 



Denna eqv. innehåller ju Zn + i H ^ = — ^ — 



konstanter. 



Problemet att bringa eqv. C,i = till formen (1) har uppen- 

 barligen I?;! olika solutioner. En enda af dessa är reel. 



Emedan eqv. Cn — <i = O kan på samma sätt uppdelas, följer 

 att hvarje algebraisk kurvas eqvation kan skrifvas 



(2) Ofi «2 • • • '^n + '^C" -ßiß^--- ß'i - 2 + /i(>* • 7x72 • • • 7» - 4 + = O , 



der ß^, /?2 • • • ßn-2 betyda kurvans Cn--2 i^-linier; 



yp y^ . . . 7,, — 4 » den kurvas i' -linier, som går ge- 

 nom den förras öfriga (n — 2)(?z — 4) snittpunkter med /i-lini- 

 erna; o. s. v. 



Problemet att bringa eqv. Cn — O till formen (2) har uppen- 

 barligen \n.\n — 2 . \n — 4 .... olika solutioner. En enda af 

 dessa är reel. 



Sista termen i (2) är fiQ'' eller ^iq^-'^ö, allteftersom n är 

 jemnt eller udda. 



Linierna 01 och OJ kunna ej sammanftilla till en, derest 

 icke O ligger på sjelfva cxs-linien. I sådant fall blifva n F-linier 

 asymptoter till Cn', de öfriga sammanfalla med oo-linien. Eqva- 

 tionerna (1) och (2) blifva då 



