20 BJÖRLTNG, OM BRÄNNPUNKTERNAS RECIPROKA LINIER. 



§ 4. Antag, att (7„ går genom J, .7, d. v. s. är cirkulär. 

 En i^-linie sammanfaller då med oo-linien. En cirkulär 

 kurvas eqvation kan således alltid bringas till formen 



(9) «jtto • ■ • CCn-l + ^Q^ • ßlßo • • ■ ßn-2 + ^Q'^ • C*?! - 4 = 0. 



Om C„ har dubbelpunkter i I, J, d. v. s. är bi-cirkulär, 

 blir dess eqvation 



(10) OfiOTo • • • Cf„_2 + ÜQ- ■ ß\ßl • ■ ßn-S + A()* . C„_4 = 0. 



I allmänhet, om €„, har m-faldiga punkter i /, J, samman- 

 falla m- af dess i^-linier, bland hvilka m reella, med oo-linien. 



Om slutligen Cn har m-faldig punkt i O, utgöras dess n- 

 jP-linier af 



l:o) de 7n tangenterna i O, hvar och en m gånger räknad; 



2:o) de {n — m)- sammanbindningslinierna mellan de (n — m) 

 i- och de {n- — m) j-punkterna; 



3:o) 01, OJ, hvardera /n(n — m) gånger räknad. 



§ 5. Af det föregående visar sig, att i^-linierna spela en 

 rol i åtskilliga bekanta problem, t. ex. följande: 



l:o) Orten för en sådan punkt, att produkten af dess af- 

 stånd från två linier a^, a^ är proportionel mot qvadraten på 

 dess afstånd från en punkt O, är, på grund af definitionen 

 or^ao + >f()" = O, ett kägelsnitt, hvars F'-linier äro otj, «o- 



Ar den ena linien oändligt aflägsen, blir orten en cirkel; 

 sammanfalla båda med hvarandra, blir denna linie en directrix, 

 O dess motsvarande brännpunkt, och man erhåller den bekanta 

 satsen om-lvägelsnitten. 



2:o) Orten för en sådan punkt, att produkten af dess af- 

 stånd från två linier «j, or^ är proportionel mot produkten af 

 dess afstånd från en tredje linie ß och qvadraten på dess afstånd 

 från en punkt O, är, på grund af definitionen a^a^^ nQ'-ß^'^-, 

 en cirkulär kurva af tredje ordningen, hvars jP-linier äro de 

 båda förstnämnda. 



3:o) Orten för en sådan punkt, att produkten af dess af- 

 stånd från två punkter O, 0^ är konstant (»Cassinis Oval»), är 

 (af definitionen erhålles ju (j* + nQ'a + 1 — 0) en bi-cirkulär 



