22 BJÖKLING, OM BRÄNNPUNKTERNAS RECIPROKA LINIER. 



§ 7. En rot ^ = O till (16) aiigifver en oändligt aflägsen 

 jP-linie; en oändlig z-rot dertill en tangent till d i O. 



En dubbel rot till (16) angifver en directrix tiil-C„, livars 

 motsvarande brännpunkt är O; dock under förutsättning, att icke 

 samtidigt fj, f,', // försvinna för ifrågavarande värden på .v, y, z. 

 I detta sednare fall har Q, dubbelpunkter i i,j. Detta resultat 

 kan så uttryckas: Linien ij är directrix, och O brännpunkt till 

 C„, om discriminanten (i afseende på z) till f(x, i/, z), betraktad 

 såsom binär form, försvinner för värdesystemet (13); men i,j äro 

 dubbelpunkter af kurvan, om discriminanten till /(.r, ?/, z), be- 

 traktad såsom ternär . form, försvinner för samma värdesystem. 

 I båda fallen kan emellertid ij betecknas såsom en dubbel i^-linie. 



Häraf härledes följande enkla regel för beräkning af de 

 reella brännpunkterna till en alg. kurva f(a.', y, z) = 0: 



Bilda discriminanten J i afseende på ;:: till eqv. 

 (17) /(I + hz, i + kz,z)^0; 



de värden på h, k, som erhållas ur de tvenne vilkorseqvatio- 

 uerna zJ = 0, äro brännpunkternas punktkoordinater ; om z = a + bi 

 är den motsvarande dubbla roten till (l7j, så äro a, h motsva- 

 rande directrix' linie-koordinater. 



(Undantag inträffar, om äfven den ternära formens discri- 

 minant samtidigt försvinner). 



En tre-dubbel rot till (16) angifver iiiflexionspunkter i i, j 

 med 01, OJ såsom inflexionstangenter, derest icke den ternära 

 formens discriminant samtidigt försvinner. I detta sednare fall 

 äro i,j dubbelpunkter af €„, som tangerar 01, OJ i dessa punk- 

 ter, eller ock tredubbla punkter af kurvan. I hvarje dylikt fall 

 kan emellertid ij betecknas såsom tredubbel /-linie. 



§ 8. F-linierna till kurvans C,,, första, andra, tredje o. s. v. 

 polarkurva, i anseende till O såsom pol, bestämmas ur eller 

 äro (i linie-koordinater) ^--rötterna till eqvationerna 



/;(1, i, z) = O, //(I, ^, z) = O, /,3"'(1, ^, z) = O, o. s. v. 



Häraf följer, att en directrix till en kurva är /^-linie tili 

 dess första polarkurva , i anseende till brännpunkten såsom pol, 

 och i allmänhet att en j>i-faldig i^-linie till C,, är 



