ÖFVERSIGrT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1876, N:0 3. 9 



K..)rCos 2n am '-^ x = r'"''™+ 2r "''"'Cos 2x 



L ^ ^-J 71 O 2 



(6) 



+ 2r Cos 4a- + 



4 



[«(^Of" Sin 2n am ^.^? = 2j'"''"' Sin 2x 



_ 2w, 2w -, , . 



+ 2^ Sm 4^+ ... 



4 



äro i högre grad konvergeiita än serierna (3) och detta desto 

 mer, ju mindre skilnaden emellan de hela talen n och m är. 

 Visserligen förminskas äfven här konvergensen, ju större värde 

 talet n eller differensen n — m erhåller, men i alla händelser 

 inträda olägenheterna af den minskade konvergensen vida sednare, 

 än då serierna (3) komma till användning, och blifva derföre 

 ofta utan någon praktisk betydelse. 



Coefficienterna för — ^^ och ^ i de serie-utvecklin- 



gar, som erhållas, då uttrycken (6) införas i likheterna (5) skola 

 vi beteckna med 2(i''.,''" och 0!;", då följande uttryck blifva 

 gällande: 



ii, m I Ii) 2, 2m ^ (2i) 4, 2m ^ 



xl) — y 2 Cotg un + Y 2 Cota: 2nTc + . . . 

 i,m (2i)2,'2m^^ (2i) 4,2?«^ 



= — a I Cotg«7z:— ö r Cotg2/m — ... 

 i- 2 2i' ° ^ 4 2i' ^ ^ 



I afsigt att göra den numeriska beräkningen af dessa koeffi- 

 cienter enklare, än den omedelbara användningen af uttrycken 

 (7) medgåfve, kunna en stor del af de transformationer äfven 

 här tillämpas, som blifvit anförda i afhandlingen »Integration 

 etc.» För ögonblicket skall jag likväl ej uppehålla mig dervid, 

 då jag hoppas återkomma till detta ämne i förklaringen till ta- 

 beller öfver de här ifrågakommande utvecklingskoefficienter af 

 elliptiska funktioner, som f. n. äro under arbete. 



Med några ord torde dock härledningen af koefficienterna 

 ^2«, 2m ^^1^ ^2M,2m ^Q^g^n här bÖra omnämnas, då desamma nu 



för första gången komma i fråga. 



Sättes yZTi X 



e = t 



