ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAU. FÖRHANDLINGAK 18 76, N;0 3. 17 



Känner man således koefficienterna i utvecklingen af öLt- + -^1 ", 

 hvilka äro omedelbart gifna genom koefficienterna i [*9 (.t)]^"', så 

 finner man utvecklingen af r- efter några ytterst lätt utförda 



mekaniska multiplikationer, då faktorerna Ul^' , 2.2? + -^j r", o. 



s. v., hvilkas härledning naturligtvis är vida lättare än den 

 första faktorns, konvergera så starkt, att endast några få ter- 

 mer blifva märkbara. 



Sedan ifrågavarande utvecklingar blifvit utförda har man 



5- = d Sin 2^c^' + d T Sm (2i - 2\v + Sin (2i + 2)x] + . . . 



jr- = O Cos 2ix + ö Cos {2i — x)x + Cos (2^ + 2)x\ + . . . 



hvarefter man erhåller de sökta koefficienterna i utvecklingarna 

 (10) genom att substituera serierna (1). 



En vid beräkningen af uttrycken (12) särdeles gynnsam 

 omständighet bör här ej förglömmas, nämligen den att koeffici- 

 enterna (j^''^'" och y^*'^'" konvergera hastigare än oT^ och yP'\ 

 hvarföre ett mindre antal termer i uttrycken (12) behöfva tagas 

 i betraktande än vid beräkningen af uttrycken (4). 



Genom att på ett passande sätt bestämma det hela talet m , 

 skulle man visserligen kunna angifva hvilka ojemnheter som 

 helst under formen (9). Fördelarna som härmed skulle vinnas, 

 blefve dock mer och mer illusoriska i mån m erhölle större 

 värden, alldenstund utvecklingen af \ß{x)f"' eller af [:i]{ — x)'f'"' 

 redan i och för sig skulle innehålla ett nog stort antal märkliga 

 termer, ehuru desamma alltid vid en viss gräns begynna att 

 ytterst hastigt aftaga i storlek. Nödvändigheten att välja ett 

 större värde för m (i det föregående antogs m ej större än 2) 

 beror emellertid derpå om stora värden för cotg««?!: förekomma 

 vid högre värden af n. Om sådant inträff"ar, synes det under- 

 stundom fördelaktigt att i st. för uttrycken (5), använda andra 

 till utgångspunkt, i hvilka man utbrutit två eller flere olika 

 faktorer, såsom 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. Arg. 33. N:o 3. 2 



