22 BJÖRLING, OM SIMULTANA COVARIAXTER. 



användes, endast jemna digniteter af x, y, z, och sålunda till en 

 början det bekanta förhållande, att alla covarianta kägelsnitt 

 till s och 6-' hafva samma polartriangel som de (Clebsch, Vorles. 

 über Geometrie, Leipz. 1875, S. 297). Deremot är det mig obe- 

 kant, om följande resultat äro förut funna '). 



§ 2. En simultan covariant af 4:de ordningen måste, på 

 grund af det nyss anförda, vara af formen 



(8) F{x, y, Z) = («ij, «22' «33' <^«23' «31' «I2) G^'"' 3/'' ^^)" = O, 



der koefficienterna äro symmetriska funktioner af de i (1) före- 

 kommande. Dess singuliera punkter erhållas ur systemet F'^ 

 ^ Fy = F: = 0, d. v. s. 



ix (^a■^^■^x- + «12^" + «is'^") = O, 

 y {a^^x- + cu^y- + «03^^) "= ^' 

 z (a,3.^■2 + «23?/- + «33-') = O, 

 hvilket vi nu skola undersöka. 



Ar l:o) hvarken x, y eller ;: = O, så ger (9) 



(10) a, 2, «22' «23 

 «13' «23' «33 



kurvan är då oegentlig och består af två kägelsnitt. 

 2:o) Antagandet .r = O, y och ^ ^ O gifver 



(11) «22^" + «23^- "^ ^' «23.V" + «33'^^ = ^i 



hvilket erfordrar 



och gifver två dubbelpunkter på en af polartriangelns sidor. På 

 grund af Symmetrien måste man då hafva 



och tvä dylika punkter på hvardera af de öfriga sidorna. Kur- 

 van består alltså af fyra räta linier. 



') Det torde knappt behofva nämnas, att vi i det följande, dä ej motsatsen ut- 

 tryckligt tillkännagifves, endast sysselsätta oss med de generella fallen, och 

 salanda antaga, att kägelsnitten äro egentliga, samt att de ej hafva något 

 specielt inbördes läge. 



