24 BJÖRLING, OM SIMULTANA COVARIANTER.. 



(19) F + 2^<-^^^■+ 1 = 0. 



'^ ' 4<) () SS — (f ^ 



Detta resultat, är funnet af Weyr (Borchardts Journal^ 

 B. 75, s. 67 — 75) ncli behöfver således ej här bevisas. Man 

 öfvertygar sig lätt, att kurvan är af första slaget, d. v. s, att 

 dess karakterer äro de i (15) uppräknade. 



Låter man s' vara de två oändliga cirkelpunkterna /, J, blir 

 covarianten orten för den punkt, hvarifrån man till s kan draga 

 två tangenter, hvilka med hvarandra bilda en konstant vinkeL 

 I detta fall blir emellertid kurvan bi-cirkulär; tangerar tillika « 

 linien IJ, blir den ett kägelsnitt, hvilket för öfrigt som bekant 

 alltid inträflfar för k = — 1. 



§ 4. Till en punkt P af s tagas polarerna i afseende på 

 s och s. Orten för deras skärnirigspunkt sökes. 



Betecknas punktens P koordinater med h, k. I, så är 



(20) a/i2 + 6F + er- = O, 

 och polarernas eqvationer 



(21) aLv + bhj + clz = O, ahx + h'ky + elz = 0. 

 Genom elimination af li, k, I erhälles 



(22) a(b'c — bcj-f-z'- + hica — cafzKv"^ + c{ab — ab'fxhp- = O 

 eller, uttryckt i fundamental-systemet, 



(23) ÖS' + s(p = ess. 



Af (22) visar sig genast, att covarianten är af andra slaget 

 (16). Dess unicursala egenskap kunde för öfrigt lätt förutses 

 deraf, att kurvorna entydigt motsvara hvarandra ^). 



Vi låta nu s vara två räta linier, hvilka skära hvarandra 

 i en punkt O hvilkensomhelst och gå genom de oändliga cirkel- 

 punkterna 7, J. Då blir covarianten orten för polarsubtangentens 

 till s ändpunkt i afseende på O såsom origo. Ty polaren till 

 P i afseende på s är naturligtvis tangenten i denna punkt, och 

 eftersom OP och OQ äro harmoniskt koiijugerade i anseende till 

 01 och OJ, äro de vinkelräta mot hvarandra. 



') Salmon, Höhere ebene Curven, s. 77. 



