26 BJÖRLING, OM SIMULTANA COVAB.IANTEH. 



§ 6. Enveloppen till linien n sökes. 



Denna uppgift kan tydligen uttryckas sålunda: 



Till en tangent p till s tagas polerna i af seende på s och 

 s. Enveloppen till deras sammanbindning slinie sökes; 



och visar sig sålunda vara den reciproka till den i § 4 be- 

 handlade. Häraf framgår omedelbart, att den sökta covariantens 

 uttryck i linie-koordinater är 



(29) JS'-^ + S(I)= &SS'. 



Den är alltså af 4:de klassen och andra slaget (18). Låter 

 man S' vara tvenne punkter hvilkasomhelst, blir den kägel- 

 snittets S Qvasi-evoluta, och om dessa punkter äro /, J, dess 

 Evoluta \). Polartriangeln blir då den i § 5 omtalade; det är 

 ju ock bekant, att evolutan till ett central-kägelsnitt har dettas 

 axlar och oo -linien till dubbeltangenter; den har nemligen två 

 spetsar på hvardera. 



Vi vilja nu på analytisk väg verifiera nyss anförda resultat. 

 Eqv. (29) är på grund af (22), 



(30) A (B' C — BCy y-Z'^ + B{C'A — CA'f Z^-X"- 



+ C{A'B — AB'yX^'Y^ = O, 

 eller kortligen 



(31) aY^Z'' + ßZ'^X'^ + yX'^y- = 0. 

 Eliminationen af Y mellan denna eqvation och mellanformen 



(32) X.T + Yg + Zz = 

 gifver 



(33) 7A''-^X* + 2ywzX^Z + (cuv' + ßy' + yz')X''Z' + 2axzXZ'^ 



+ az'^Z^ = O, 

 hvars discriminant, satt = O, blir 



(34) riaßyxhfz^ = (cuv'' + ßy' + yz'-)\ 



som följaktligen är kurvans eqvation i punktkoordinater. 



Antages nu S att vara 



(35) a-^X"- + ^>2F2 = Z2, 



d. v. s. i Cartesiska koordinater 



') Är deremot .S' oegentligt (// = 0), föreställer covarianten helt enkelt polen i 

 .ifseende pä S' till den räta linie, som bestämmes af det förras tvä punkter. 



