4 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



har karakteren af en o'ationel funktion, så säga vi vidare, att 

 denna funktion är en funktion af o^ationel kai^akter. Har funk- 

 tionen för hvarje ändlig värde af variabeln x karakteren af en 

 hel funktion, så säga vi, i enlighet härmed, att densamma är 

 en funktion af hel karakter. 



Sedan betydelsen af en funktion af rationel karakter blifvit 

 på detta sätt fastställd, så följer omedelbart, att en dylik funk- 

 tions oändlighetspunkter samt desammas konstanter ha följande 

 egenskaper: 



1. Inom hvarje ändligt område för den oberoende variabeln fin- 

 nes endast ett ändligt antal oändlighetspunkter ^). 



2. De konstanter, hvilka tillhöra en inom ändligt område be- 

 lägen oändlighetspunkt äro samtliga ändliga samt kunna 

 endast förekomma till ändligt antal ^). 



Vid det problem, hvars lösning vi här söka, måste således 

 oändlig hetsjDunkter na och dessas konstanter vara bestämda på så- 

 dant sätt, att de äro i besittning af de ofvannämda egenska- 

 perna. Af den efterföljande undersökningen kommer att framgå, 

 att de i öfrigt kunna bestämmas fullkomligt godtyckligt. 



En första fråga, hvilken möter vid sjelfva ingången till vårt 

 problem, är tydligen: är en funktion af rationel karakter full- 

 ständigt bestämd genom angifvande af dess oändighetspunMer 

 samt dessas konstanter, eller kan det finnas mer än en dylik 

 funktion, hvars oändlighetspunkter samt desamma tillhöriga kon- 

 stanter äro de gifna? Svaret på denna tråga erhålles lätt genom 

 följande enkla betraktelse. Om det finnes tvänne olika funk- 

 tioner, hvars oändlighetspunkter med tillhöriga konstanter äro 

 desamma, så är diff"erensen mellan dem båda nödvändigt en 

 funktion af hel karakter. Men enligt en elementär sats ur 



1) Afståndet mellan tvänne oändliglietspunkter är således alltid ändligt, då de- 

 samma äro belägna inom ändligt område. Detta hindrar dock icke, att af- 

 ståndet mellan tvänne oändliglietspunkter kan aftaga under hvarje gräns, då 

 de båda punkternas moduler samtidigt växa i oändlighet. 



2) Det kan dock mycket väl inträffa, såväl att en oändlighetspunkts konstanter 

 i afseende på storleken växa öfver hvarje gräns, som ock att dessa konstan- 

 ters antal växer öfver hvarje tal, men då måste samtidigt oändlighetspunk- 

 ternas modul växa öfver hvarje gräns. 



