6 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



Den tanke, livilken närmast erbjuder sig, är derföre att 

 tillse om icke den sökta funktionen kan i sin helhet analytiskt 

 framställas genom summan 



^ \ {x - a,.) ■•" ÖJ^^~ff^ "*" {^^^^' "^ ■'■ {x — arV-^-i ' ' ' ^^^' 

 r 



För att studera denna summa i närheten af en oändlighetspunkt, 

 ttp, tänka vi oss densamma delad i summan af (1) och ^) 



W( 1 1 \ 



(fl, - a,.) (-^^ + l) \a,- fl.)2 (^^^ + l)' 



\ flp — Clr I \ap — ar I 



+ + c>-,,. 



{o 



Vore nu summan 



• 2.,[Cri + Cr2 + + Cr).,] (4) 



^--"H^'f,-f\\ 



(3). 



en absolut konvergerande serie, så vore serien (3) en likformigt 

 konvergerande serie ^) inom hvarje område för x, hvilket är be- 

 läget ino7n en cirkel, som har ap till medelpunkt och den minsta 

 af modulerna ap — a,- till radie ^). Enligt en bekant sats ur 

 teorien för serier *) kunde då vidare serien (3) omformas i en 

 efter hela och positiva potenser af (a; — ap) fortskridande inom 

 den ofvanberörda cirkeln absolut konvergerande potensserie. 



') Med p ofvaiiom summationstecknet förstå vi, att summeringen omfattar alla 

 termer utom den /j:te. 



00 



^) En serie af ändliga storheter 2^ f^{x), hvilken konvergerar för alla värden 



o »1 



af X inom ett visst område, är lihformigt Tconvergent inom detta område, om 

 det alltid är möjligt, efter att godtyckligt ha valt en positiv qvantitet, t), 



huru liten som helst, att finna ett helt tal r, sådant att ^ /„(«) <C *^. föi" 



hvilket heltalsvärde som helst af r och för hvaje värde på x, som är be- 

 läget inom det gifna området. (Jemför författarens »En metod att komma i 

 analytisk besittning af de elliptiska funktionerna», noten till pag. 75 och 76). 



^) Hvar och en af de faktorer, hvarmed termerna i (4) måste multipliceras för 

 att denna serie skall öfvergå i (3) är nemligen, om x är beläget inom ett 

 dyligt område, en ändlig qvantitet. 



*) Om /„(as), f^{x), f^[x), .... /„(x) .... äro funktioner af x. livilka öfver- 

 allt inom ett visst område äro funktioner af hel karakter, och om dessutom 



00 



serien 2.' f„(x) för hvarje område, hvilket är beläget iiiom det först angifna, 



o n 



är en likformigt konvergerande serie, så har denna serie inom det först an- 

 gifna området karakteren af en hel funktion. 



