ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 187 6, N:0 6. 7 



Summan (2) skulle således i närheten af en oändlighetspunkt, 

 Up, kunna skrifvas under den erforderliga formen. Vi vilja dock 

 tänka oss, att konstanterna, c, så när som på den inskränkning, 

 hvilken följer af den mot desamma svarande funktionens ratio- 

 nella karakter, äro fullkomligt godtyckliga, och det kan då endast 

 undantagsvis inträflFa, att (4) är en absolut konvergerande serie. 



Det kan dock vara möjligt, att man skulle kunna bilda så- 

 dana funktioner af a', gi^x), att 



för en ändlig omgifning af Up kan uttryckas såsom summan af (1) 

 och en efter hela och j^ositiva potenser af (a;' — ap) fortskridande 

 absolut konvergerande potensserie, samt att på samma gång 



^^,{^ri('^0 + 9>Åx) + + 9v,i^)} (5) 



är en beständigt konvergerande potenssei'ie. Finnas dylika funk- 

 tioner, så är också uppenbarligen, på grund af samma bevisning 

 som nyss blifvit begagnad, suraman 



y\_9Ax)_ gAx) Jfr)J.=±\ /Q\ 



^'•| {x — a,) (x — fl,)^ (x — a,)'- i 



det allmänna analytiska uttrycket för den sökta funktionen. 



Om vi något förenkla vårt problem och antaga, att för 

 h varje värde på »^ 



1 = 1 (7), 



så är det lätt att framställa funktioner g(^cx) af de erforderliga 

 egenskaperna. Summan (5) öfvergår genom detta antagande uti 

 den enklare summan 



^.■ié^ f8). 



Vi antaga ytterligare att nollpunkten icke är en oändlighetspimkt. 

 Vi behöfva endast sätta 



g,{x) - Cr (^j"- (9), 



hvarvid 



^\i *'2' V^ • • • • Vr 



