10 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FKAMSTÄLLXING AF FUNKTIONER. 



vi ha nu uppvisat, och detta var hufvudsaken, att det alltid är 

 möjligt att bestämma talen v på sådant sätt, att (12) blir en 

 heständigt konvergerande serie. 



Har nu detta åstadkommits, så följer äfven att serien (8), 

 (9) inom hvarje cirkel, hvilken har en oändlighetspunkt, a^, till 

 medelpunkt och den minsta af modulerna ap — a, till radie, kan 

 förvandlas uti summan af 



(x — a,,) 



och en efter hela och positiva potenser af {x — a^^ fortskri- 

 dande inom den ifrågavarande cirkeln absolut konvergerande potens- 

 ^erie. Utan vidare följer äfven på samma sätt, att serien (8), (9) 

 inom hvarje cirkel, hvilken har en punkt, a, som icke är en oänd- 

 lighetspunkt, till medelpunkt och den minsta af modulerna a — a,. 

 till radie, kan förvandlas uti en efter hela och positiva potenser 

 af (x — a) fortskridande inom den sistnärada cirkeln absolut 

 konvergerande potensserie. Uti serien (8), (9) ha vi således er- 

 hållit en allmän analytisk framställning af den genom sina oänd- 

 lighetspunkter och desammas konstanter definierade funktionen. 

 Konstanterne voro dock härvid underkastade vilkoret (7) och noll- 

 punkten fick icke vara en oändlighetspunkt. Vårt problem er- 

 bjuder dock ej längre några svårigheter äfven om vi låta vilkoret 

 (7) falla. Vi öfvergå derföre nu till det allmänna problemet, 

 men bibehålla dock tillsvidare antagandet att nollpunkten icke 

 är eu oändlighetspunkt. 



Vi kunna nu ej längre bestämma funktionerna g{x) genom for- 

 meln (9), ty vi skulle då ej mer erhålla de rätta koefficienterna 

 till de negativa potenserna af {x — «^). Modifierar man dock 

 (9), så att man sätter 



9rrAx) = k,,[^y- (22)- 



så är det lätt att så bestämma konstanterna k och talen j-, att 

 likheten (22) kommer att göra samma tjenst som förut likheten 

 (9). Summan (6) förvandlas medelst (22) uti summan 



