12 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



Iblir en beständigt konvergerande potensserie. Utaf formlerna 

 (26) framgår omedelbart, att konstanterna k för hvarje oänd- 

 lighetspunkt, hvilken är belägen inom ett ändligt område, äro 

 ändliga till storlek och antal. Yi låta nu k,, vara den största 

 af konstanterna k och /V den minsta af talen r samt införa 

 beteckningen 



'/.,k,. = c'/-. 



Omedelbart inses då, att serien (27) är en beständigt konver- 

 gerande potensserie, om detta blott är fallet med serien 



^r<^''{ir' (28). 



Denna serie är äter af alldeles samma natur som serien (12) 

 och om denna sista ha vi bevisat att talen j' kunna bestämmas 

 sa, att serien blir beständigt konvergent. 



Det är således alltid möjligt att bestämma talen v på så- 

 dant sätt, att serien (27), (26) blir en beständigt konvergerande 

 potensserie. Ha dessa tal blifvit sä bestämda, så följer äfven, 

 att serien (23), (26) inom hvarje cirkel, hvilken har en oänd- 

 lighetspunkt, üp, till medelpunkt och den minsta af modulerna 

 ap — a,- till radie, kan förvandlas uti summan af 



samt en efter hela och positiva potenser af {x — a^;) fortskri- 

 dande inom den 'ifrågavarande cij'keln absolut konvergerande 

 potensserie. Utan vidare, följer på samma sätt, att serien (23), 

 (26) inom hvarje cirkel, hvilken har en punkt, a, som icke är 

 en oändlighetspunkt, till medelpunkt, och den minsta af modu- 

 lerna a — a,, till radie, kan förvandlas uti en efter hela och 

 positiva potenser af {o: — a) fortskridande inom den sistnämda 

 cirkeln absolut kotivergerande potensserie. Uti serien (23), (26) 

 ha- vi således erhållit en allmän analytisk framställning af en 

 funktion, hvars oändlighetspunkter med tillhöriga konstanter äro 

 gifna, och vid hvilken konstanterna ej längre äro bundna af 



