14 MITTAG-LEFFLER, ANALYTISK FRAMSTÄLLNING AF FUNKTIONER. 



Konstanterna k äro härvid gifna genom de lineera eqvationerna 

 (26). Talen v måste, hvilket alltid är inöjligt, vara så valda^ 

 att serien 



är en beständigt konvergerande potensserie, men äro i 

 öfrigt fullkomligt godtyckliga. Med P(x) förstås en godtycklig 

 beständigt konvergerande p>otensserie. Qvantiteterna a 

 och c tänkas ordnade så som på sidan 5 uppgifves. 

 Om vi specialisera vårt problem så att vi sätta 



och 



^01 ^^ ^11 ^ ^21 = ••■• = c,! = . . . = 1 



så blir den analytiska framställningen af vår funktion helt enkelt 



^+fk--^(in+^w (32), 



hvarest talen v, ehuru i öfrigt godtyckliga, måste vara så valda, 

 att serien 



^iT' (33) 



1 



är en beständigt konvergerande potensserie. Formeln (32) kan 

 också skrifvas 



i + ^-„{^-i, + i (1 + ^ H- (^)V +(f f -^)| + PW (34). 



Serien (34) kan nu betraktas som den logaritmiska derivatan 

 till produkten 



.../'»'.//,l(..-«„).e^'"^(^^ 4(^) + + HiT} (35) 



och det är lätt att visa att (35) är en funktion af hel karakter, 

 hvilken försvinner alltid och endast då .v = ar eller ^' = 0. Man 

 kan också visa, att tvänne fuktioner af hel karakter, hvilka ha 

 samma nollpunkter med tillhöriga ordningstal endast kunna skilja 

 sig från hvarandra genom en faktor, hvilken är lika med talet 

 e upphöjdt till en beständigt konvergerande potensserie. Uti 

 (35) ha vi derföre det allmänna analytiska uttrycket för en 



