6 DAUG, OM EN YTAS BÖJNING. 



= FiFr'— — — — — ^l 



~ I ' ' 3m' dv' 9m' dv' dv' d^j' 



och att således radien i sferen bestämmes af 



\e, g, 



Detta uttryck för r innehåller endast E och G och deras par- 

 tiella derivator jemte första och andra derivatan af u i afseende 

 på v. Som nu vid en ytas böjning E och G bibehålla oför- 

 ändrad form, och detsamma följaktligen måste gälla om deras 

 partiella derivator, och då derjemte båda derivatorna af u blifva 

 oförändrade, så länge man vid ytans böjning håller sig till någon 

 viss kroklinie, måste således den radie förblifva oförändrad, som 

 svarar mot en och samma kroklinie. Häraf theoreraet: Hvarje 

 linies kr ökning scirkel förhlifver under ytans höjning belägen på 

 en sfer med konstant radie. 



Sammanställa vi na de båda framställda theoremerna med 

 den satsen, att vinkeln V mellan två tangenter, livilka som helst, 

 förhlifver konstant under ytans höjning, hvilken framgår deraf, 

 att i 



„ du du, 



E- J^ + Cr 



GTT- Civ av 



os V 



v^w^^v 



E —^ + G 



endast innehållas sådana qvantiteter, som vid ytans böjning 

 blifva oförändrade, så är vägen öppen till följande theorem: 



Betraktar man under en ytas höjning tangentplanet, tange- 

 ringspunkten och e)i af tangenterna såsom orörliga, inträffar icke 

 allenast, att en tangent hvilken som helst hihehåller sin plats i 

 tangentplanet oförändrad, utan ock att kr ökning scirklarne till 

 hela det system af kurvor, för hoilka denne tangent är gemen- 

 sam, förblifva belägna på en för hela systemet gemensam sfer, 

 som har sitt centrum på ytans normal och vid böjningen ändrar 

 storlek, under det att samtidigt hvarje kr ökning scirkel flyttar sig 

 på sin serskilta sfer, hvars centrum ligger i ytans tangentplan 

 och hvars läge och storlek under höjningen blifva oförändrade. 



