18 MITTAG-LEFFLER, INTEGRATION AF EN DlFFERENTIAL-EaVATlON. 



t'i'amställas under normalformen af en qvot af två beständigt 

 Konvergerande potensserier ^), uppställer jag följande problem. 



Framställ, under förutsättning att funktionerna 



uppfylla de erhållna vilkoren, ett fundamentalsystem af n parti- 

 kulära integraler -) till difFerentialeqvationen (1), hvilket system 

 är så beskaiFadt, att hvar och en af de partikulära integralerna 

 är qvoten af tvänne potensserier, hvilka fortskrida efter hela 

 och positiva potenser af variabeln x och äro obetingadt ^) kon- 

 vergenta för samtliga ändliga värden af denna variabel. 



För att i korthet kunna gifva Eder en tydlig bild af det 

 sätt, hvarpå jag gått till väga, ber jag att få meddela lösningen 

 af mitt problem för det fall, att eqvationen (1) är en lineer 

 differentialeqvation af andra ordningen, för hvilken koefficienten 

 till — är noll, och hvilken således har formen 



dx 



S=/W.y (2). 



Först och främst är det lätt att inse, att om hvarje 

 integral till eqvationen (2) skall kunna vara en funktion af ra- 

 tionel karakter, är också nödvändigt erforderligt, att /(^) är en 

 funktion af rationel karakter. 



För det fall att f(x) är en funktion af hel karakter ^), har 

 problemet redan blifvit fullständigt löst ^). Man kan då alltid 



') c. f. »Weierstrass, Zur Theorie der eindeutigen aualytisclien Functionen.. 



Abhandlungen d. Königl. Aead. d. W. zu Berlin 1876.» 

 ^) c. f. t. ex. »Fuchs, Zur Theorie der lineeren Differentialgleichungen mit 



veränderlichea Coefficienten, Pag. 126. Borchardts journal. Band 66.» 

 ^) En serie säges vara obetingadt konvergent om den motsvariga serien af 



absoluta belopp konvergerar. Densamma konvergerar nämligen då oberoende 



af termernas ordningsföljd. 

 *) c. f. »Öfversigten, 1876, N:o 6, pag. 4» samt »acta Soc. Se. Fenn. Tom. XI, 



pag. 276.» 

 *) c. f. »Briot et BouQUET, Eecherches sur les Propriétés des fouctions dé- 



finies par des équations différentielles. Deuxiéme memoire. Journal de Técole 



polytechnique. Cahier 36. Tom. XXL» 



