OFVERSIGT AP K. VETEXSK.-AKAD. FÖRHANDLIKGAR 1S7 9, N:0 3. 19 



framställa ett funcianientalsystem af tvänne partikulära integraler, 

 af hvilka hvardera har formen af en potensserie, hvilken fort- 

 .skrider efter hela och positiva potenser af variabeln x och äi' 

 obetingadt konvergent för hvarje ändligt värde af denna variabel. 



Jag kan således inskränka mig till att studera funktionen 

 f\{c) för det fall att densamma är en funktion af rationel ka- 

 rakter, hvilken icke är hel. 



# 



Jag önskar då först att erhålla de nödvändiga och tillräck- 

 liga vilkor, hvilka funktionen f{x) måste vara underkastad för 

 att hvarje integral till differentialeqvationen (2) skall vara en 

 funktion af rationel karakter. 



För att kunna erhålla dessa vilkor studerar jag differential- 

 eqvationen uti omgifningen af ett oväsentligt singulärt ställe ^) 

 till funktionen f{x). För den närmaste omgifningen af ett dylikt 

 ställe X = A'^. måste det alltid finnas ett fundamentalsystem af 

 partikulära integraler, hvilka satisfiera differentialeqvationen. Om 

 dessa integraler äro 



(r) (r) 



y^ och 3/^ , 



så är det alltid möjligt att så bestämma tvänne konstanter c 

 och c,, att hvarje gifven integral till differentialeqvationen kan 

 framställas under formen 



V = c . v + c . v . 



u \ ^' \ 2 2 



Ett nödvändigt och tillräckligt vilkor för att hvarje integral 

 till differentialeqvationen uti punkten x = x^^ skall vara af ra- 

 tionel karakter, är således, att det finnes ett fundamentalsystem 

 af tvänne partikulära integraler, hvilka båda i denna punkt äro 

 af rationel karakter. 



För en viss omgifning af punkten x ^= x^, bar man 



tXx) = (;,-,, )-"{ä:^^ + kjx-x^) + kjx-xf +....}.. (3), 



') c. f. »Weierstrass, Zur Theorie etc. Pag. 11 och 12» eller 

 »En ny serieutveckling etc. Pag. 276.» 



