20 MITTAG-LEFFLFR, INTEGRATION AF EN DIFFERENTIAL-EÖVATION. 



livarest n^^ är ett positivt helt tal, koefficienten k^,^ icke är noll, och 



2 



k + k (.v — x) + k (x — x) + 



är en obetingadt konvergerande potensserie. Emedan nu en in- 

 tegral t/ till difFerentialeqvationen (2) alltid uti punkten A'=.r^ 

 bör vara af rationel karakter, så är också för en viss omgifning 

 af denna punkt 



^/ = (w- cc ) ' \c + c (x — x ) + c (x—x ) + | . . (4). 



hvarest m , är ett positivt eller negativt helt tal eller noll, koeffi- 

 cienten c „ icke är noll och 



rO 



2 

 C + C (x—x) + c (x — X ) + 



är en obetingadt konvergerande potensserie. Genom att tvänne 

 gånger efter hvartannat differentiera (4) erhålles 



dx"^ 



=^ (x — x^ \ m (m — ]) . c + (m + i) . m c (x — x)\ 

 + (m +2)(m 4-l)c (x-x ) -V } 



(5). 



Om (3) multipliceras med (4) erhålles vidare 



/(^) • ^ = ] 



nir — n,. ( \ 7 / \2 1 I 



C^'-^,) l\o+ ^i^-^-^^.) + ^.2^^'-V + ' [>(6). 



( ^ 1 i 



\c + c (X—X) + C (x—x) -!- 



i rO rl ^ ?-^ ?-2 ^ r^ ■* ; 



Jag vill nu först visa, att m , icke kan ha något af de båda 

 värden, hvilka satisfiera likheten 



m (in — 1) = 0. 



r r 



Om nemligen 



m = O, 



r 



blir 



och likheten 



^=:2.1.c +3. 2. c (.r-a- ) + 4.3.C (a;-Ä? )' + 



dcc^ 7-2 rZ r r4 r 





