22 MITTAG-LEFFLRK, INTEGRATION AF EN UIFFERENTIAL-EaVATION. 



Ur dessa eqvationer eThålles 



c = A . c 



1'S /'S rO 



[. -1, 2, 3 . . . . «=], 



hvarest Ä^,^ är en en entydigt bestämd hel och rationel funk- 

 tion af 



k k k k 



rO rl r2 rs — l 



Om derföre y' och y äro tvänne partikulära integraler till 



differentialeqvationen 



3i=/G^)-y, 



dx 



hvilka uti omgifningen af punkten x = x^,, hvarest funktionen 

 J\x) har ett oväsendtligt singulärt ställe af ordningstalet ett. 

 båda äro af rationel karakter, så finnes det alltid en konstant r, 

 sådan att 



I 



y. 



{>') 



<^-y. 



('•) 



Häraf följer äter, att y och y icke kunna utgöra något 

 fundamentalsystem ^), och att således icke alla integraler till den 

 ofvannämnda diiferentialeqvationen uti punkten x ■= x kunna 

 vara af rationel karakter. ' 



Jag kan således nu inskränka min undersökning till det 

 fall att 



n% (m — 1)^0 



(7) 



eller att talet m hvarken är noll eller ett. 



r 



För att likheten 

 (x — x)' Im (m — \)c + (m + 1) . m . c (x — x ) 



+ (m +2)(m + l)c (x-x) +....} = 



(x — x)' ' {k + k (x — x ) + k (x-xY + I X 



\c + C (x — x) + c (x-x) + ( 



skall kunna ega rum, är då först och främst erforderligt, att 



n =2 (9), 



(8) 



>) c. f. »Fuchs, Zur Theorie etc. Pag. 128». 



