Zb MITTAG-LEFFLER, INTEGRATION AF EN DIFFERENTIAL- E C\ 



äro obetingadt konvergenta. Forst härmed är då också bevisadt, 

 att 1/ ocli 2/ verkligen äro partikulära integraler till min 

 differentialeqvation. 

 Emedan serien 



2 



k + k (x-x ) + k (x — x ) + 



är obetingadt konvergent för en viss omgifning af punkten x^=x ,^ 

 finnes det också nödvändigt en positiv qvantitet r, sådan att serien 

 är obetingadt konvergent för alla värden af {x — x^~)^ hvilkas 

 absoluta belopp är lika med eller mindre än r. Om nu M är 

 den öfre gränsen för de värden, som absoluta beloppet till 



k -T k (x — x) + k (x — x) + 



rO rl ^ r r1 ^ v' 



erhåller då absoluta beloppet till (x — x^ sättes lika med r, och 

 om med | k I förstås absoluta beloppet till k , så är enligt en 

 sats af Weierstrass 



M 



Om således 



rn — r 



_1_ _ M_ 



V ^ X - 



\ 



utvecklas i en efter hela positiva potenser af (x — x^ fortskri- ■ 

 dande potensserie, så äro koefficienterna uti denna serie positiva 

 qvantiteter, af hvilka hvar och en är större än absoluta beloppet 

 till den motsvariga koefficienten uti serien 



2 



k + k (x — x)-\-k (x — x\ 4- 



Jag bildar nu differentialeqvationen 



t/v* ■y ^ xJ \ ' 



X 



Försöker man att för omgifningen af punkten x = x satisfiera 

 denna differentialeqvation genom en potensserie 



2 



y = C + c (x-x) ^ z (x- x) + (21) 



så måste denna series koefficienter satisfiera eqvationerna 



