OFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHAXDLINGAK 1 87 9, N:0 3^ 31 



I de båda poteiisserierna y och i/ har jag således under 

 de gjorda förutsättningarne verkligen erhållit ett fundamental- 

 system af tvänne partikulära integraler till differentialeqvationen 



De nödvändiga och tillräckliga vilkoren för att denna diffe- 

 rentialeqvation skall ha ett fundamentalsystem af tvänne parti- 

 kulära integraler, hvilka båda uti punkten x=^x^, äro af rationel 

 karakter, äro således dels att 



n = 2 



r 



och dels att 



k = m (m + 1 ) , 



hvarest m^, är ett positivt helt tal hvilket som helst, samt slut- 

 ligen att mellan koefficienterna 

 k I h h k 



rl 1-2 r3 ;-2m,. r2mr + 1 



den ur eqvationssystemet (15) resulterande likheten (16) eger rum. 



Häraf följer åter: 

 För att hvcü'je integral till den lineera dijferentialecjvationen af 

 andra ordningen 



%-f^'y 



skall kunna vara en funktion af rationel karakter är nödvändigt 

 erforderligt, att funktionen f(x) sjelf skall vara en funktion aj 

 rationel karakter, livilken dessutom upijfyller följande vilkor: 

 Uti den potensserie 



{x-x )~"'{k + k (x-x) + k (x-x) + },. 



genom livilken funktionen för omgifningen af ett oväsendligt 



singulärt ställe, x = x kan uttryckas, 7nåste alltid, dels 



n =2, 



dels 



k = m (m + 1), 



hvarest m^ är ett godtyckligt positivt helt tal, och dels slutligen 

 mellan de 2in_ + 1 koefficienterna 



