32 MITTAG-LEFFLER, INTEGRATION AF EN DIFFERENTIAL-EGIVATION. 



k k k k 



rl ?'2 ''2in,- vIbit + 1 



den ur eqvationssystemet (15) resulterande likheten (16) ega rum. 



Om funktionen f(x) är en funktion af sådan art, som härmed 

 blifvit angifven, så är å andra sidan också alltid hvarje integral 

 till den gifna differentialeqvationen en funktion af rationel karakter. 



Jag behöfvev icke uppehålla mig vid frågan, huruvida det 

 verkligen finnes funktioner f{x) utaf denna natur. Af de under- 

 sökningar, hvilka jag förut meddelat uti Akademiens Ofversigt, 

 framgår utan vidare: Om jag godtyckligt angifver ett ändligt 

 eller oändligt antal oväsendtliga singulära ställen 



1 2 "^ 3 



häremot svarande godtyckligt valda positiva hela tal 



mmm m 



12 3 r 



samt konstanter 



k k k k 



11 12 13 IPl 



k k k k 



21 22 23 2p2 





k k k 



k 



rl r1 ?-3 



rpr 





hvilka, i öfrigt godtyckliga, dock äro underkastade vilkoret, att 



så snart 



p >2m +1 



mellan de 2m + 1 första konstanterna i samma rad likheten 



r 



(16) eger rum, så är det alltid möjligt, att under formen af en 

 qvot af tvänne beständigt konvergerande potensserier, hvilka 

 fortskrida efter hela och positiva potenser af variabeln x, fram- 

 ställa hvar och en af de oändligt många funktioner /(*), som 

 svara mot de gifna ställena x^ de gifna talen m^ och de gifna 

 konstanterna k. 



