ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHAN'DLINGAU 1879, N:0 3. 33 



Under förutsättning att f{x) uppfyller de nödvändiga och 

 tillräckliga vilkor, hvilka nyss blifvit utvecklade kan också 

 differentialeqvationen 



så tillvida integreras, att jag, vid ett gifvet oväsendtligt singu- 

 lärt ställe till funktionen f(^v), alltid kan framställa ett funda- 

 mentalsystem af tvänne partikulära integraler, hvilka båda ha 

 formen af potensserier, som äro obetingadt konvergenta i den 

 närmaste omgifningen af detta ställe. Emedan dessa potens- 

 seriers konvergens i allmänhet är begränsad, har jag dock icke 

 härigenom framkommit till det slutmål, hvilket alltid måste efter- 

 sträfvas för integrationen af en differentialeqvation. Detta slut- 

 mål är uppenbarligen att erhålla samtliga integralerna uttryckta 

 senom slutna aritmetiska uttryck,, hvilka för hvarje värde af 

 den oberoende variabeln också omedelbart gifva integralens samt- 

 liga motsvariga värden. 



Emedan, då funktionen /(x) uppfyller de föreskrifna vilko- 

 reu, hvarje integral till diflfentialeqvationen 



är en funktion af rationel karakter af variabeln x, och emedan 

 hvarje dylik funktion alltid kan framställas såsom en qvot af 

 tvänne potensserier, hvilka fortskrida efter hela och positiva 

 potenser af variabeln .v och äro obetingadt konvergenta för 

 hvarje ändligt värde utaf variabeln, så har man också i en dylik 

 qvot det slutna aritmetiska uttryck, under hvilket det är önsk- 

 värdt att kunna framställa samtliga integralerna, och skulle det 

 lyckas att under denna form erhålla desamma, så vore också 

 härmed det yttersta målet för mitt integrationsproblem verkligen 

 hunnet. 



En integral till den gifna differentialeqvationen kan icke ha 

 några andra oväsendtliga singulära ställen än dem, som på samma 

 tfång äro oväsendtliga singulära ställen till funktionen f{x). Om 

 vidare x = x är ett oväsendtligt singulärt ställe till f{x) och 

 samtidigt ett oväsendtligt singulärt ställe också till integralen 



Ofvers. af K. Vet. Ahad. Förk. Arrj. 36. N:o 3. 3 



