34 MTTTAG-LEFFLER, INTEGRATION AF EN DIFf EllENTIAL-EaVATION. 



så är exponenten vid den första potensen af {x — x) uti den 



potensserie, hvarigenom integralen för omgifningen af .^' = a-^, Ivan 



uttryckas, nödvändigt 



— m' . 



r 



Hvarje integral till min differentialeqvation kan derföre också 

 säkert ^) uttryckas under formen 



y = m ■■■■■m, 



hvarest Pix) är en potensserie, livilken fortskrider efter hela och 

 positiva potenser af variabeln x, samt är obetingadt konvergent 

 för hvarje ändligt värde af denna variabel, och hvarest ri{x) är 

 en annan funktion af hel karakter, h vilken är definierad genom 

 likheten 



n{x) = 

 hvari med 



I— -1 



a;,.; 



e, 



fx,. \x,] 



(31), 



U II II 



' 1 '^ 2 "^ 3 



f.1 



förstås sådana hela tal, att serien 



m,. / a; \."'- 

 x,, \ X,. I 



är en för hvarje värde af x obetingadt konvergerande serie. 

 Funktionen f(x) kan åter alltid bringas under formen 



/W = fl| (32), 



hvarest p(x) är en potensserie, hvilken fortskrider efter hela och 

 positiva potenser af variabeln x samt är obetingadt konvergent 

 för hvarje värde af denna variabel, och hvarest cp(x) är en annan 

 funktion af hel karakter, hvilken är definierad genom likheten 



(p(x) = 

 hvari med 



X,. I 



Xr ' \X,.I 



7',. \Xr] 



(33), 



v v v 



12 3 



förstås sådana hela tal, att serien 



') c. f. mina uppsatser i »Ofversigten» åren 1876 och 1877. 



