y. = 



(37) 



36 MITTAG-LEFFLER, INTEGRATION AF EN DIFFERENTIAL-EaVATION 



c" + c" (x—x ) + c" (x — x) + 



'•) _ /-O rl ^ '/ r2 ^ r^ l 



(,.:.,r J ' ■ 



så äro också nödvändigt , 



Pf v) = (x-x /""■^'{F + // (x-x ) + k' (x-x )%...} (38),j 



livari 



h! + Ä;' (x — x ) + k' (x — x) + 



yfOtO 2 w • (39> 



(..-.. y 



- c' + c (x — x) + c ix- x\ +....[ 



och 



2 



P(x) = k" + F (a'-a' ) + k" (x-x) + 



2^ ^ )'0 rl r r2 r^ 



livari 



2 



Ä" + Ä;" (c-c — i?? ) + k" (x — x) + 



,-0 rl ^ r r2 ^ r 



(40) 



n(x)_f 



{c" + c" (x — x ) -i- g" (x — x ) + . . . .}[ 



>• ,-0 ,-1 ^ )• r2 ^ r^ ' \ 



(41> 



(a' — Ä ) 



r 



tvänne partikulära integraler tili differentialeqvationen (35). 



Under det att serierna 

 c' + c (x — x) + c' (x — x) + . 



rO rl ^ r^ r2 ^ r 



och 



2 



+ c" (x—X ) + c" (x — X ) + 



rl ^ r r2 ^ r 



rO 



i allmänhet endast konvergera för den närmaste omgifningen at 

 punkten x = x^^ äro deremot de nya serierna 



2 



k' + k' (x — X ) + k' (x — X ) + - 



rO rl r r2 r 



och 



2 



k" + k' (x — x ) + k (x — x) + 



rO rl ^ r r2 ^ r 



obetingadt konvergenta för alla ändliga värden på variabeln .i'.. 

 Emedan ingendera af de båda första koefficienter k' och //' äro 



^ rO rO 



noll utgöra också de båda integralerna P (x) och P (x) ett fun- 

 damentalsystem af partikulära integraler till differentialeqvatio- 

 nen (35). Man kan således alltid så bestämma tvänne kon- 



