4 GYLDÉN, UIFFERENTIALFÖRHÅLLANDEN 1 EN ELLIPTISK BANA. 



/ = 2 am M I 



^ _ n{l — e) \ mod . k 



^ 



Vr^ 



+ e 



Observeras nu att 















1 + Ä;'2 











1 



+ e = 



2 





1 + Ä;'2 













dk 



(1 + k'^Y 













de 



2k 



så 



erhåll 



.es 















dr 

 dl 



= — 



a 



^_2i 



1(1 + k'^) i 





(ånu] 



kk' \ 







df 



(1 



+ h'^) 



^ d am M 









de 





k 



dk 







Nu 



är era eller 



tid 















d 



am M 



dk 



1 dsnu 

 cnu dk ' 



hvaraf följer att de ifrågavarande differentialförhållandena omedel- 

 bart erhållas så snart differentialen af de enkla elliptiska funk- 

 tioner i afseende ä modylen äro framställda. Dessa finna vi 

 likvisst anförda, sednast uti en, i 85:te bandet af Borchards 

 Journal intagen uppsats af Herr Hermite, och kunna således 

 anse det förelagda problemet vara fullständigt löst. Hermite's 

 formler äro emellertid så ställda att de gifva de sökta differential- 

 formlerna under en obestämd form om modylen k erhåller vär- 

 den som gränsa till enheten. Det erfordras således ännu att vi 

 underkasta dem en sådan transformation, att ifrågavarande obe- 

 stämdhet ej träder i dagen. 



Denna transformation erhålles dock ögonblickligen om man 

 erinrar sig relationerna 



d\og6^{u^ q) 1 71 d\ogd^{iu, q) 



du 2 KK' 



d\ogß2{u, q) 1 TT d log 6 (iu, q') 



du 2 KK' du 



samt den Legenderska formeln 



K'E + KE'—KK'=^^ 



