71 



Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1879. N:o 9. 



Stockholm. 



Ett konvergenskriterium från början af 1700-talet. 

 Af Gustaf Eneström. 



[Meddelaclt den 12 November 1879.] 



Teorin tor oändliga serier leder som bekant sitt ursprung 

 egentligen frän senare hälften af 1600-talet. Visserligen hade 

 redan Arkimedes behandlat den oändliga geometriska serien, 

 men det var först vid de nästan samtidiga undersökningarna af 

 Brouncker, .James Gregory, Mercator, Newton och Leibniz 

 som några vigtigare resultat vunnos genom upptäckten af serie- 



m 



Utvecklingen för funktionerna log(l + .^'), (14- a')" och arctg .r. 

 Sedermera lyckades man snart genom olika metoder utveckla i 

 serie icke allenast flere af de öfriga enkla funktionerna utan äfven 

 åtskilliga mera komplicerade sådana, och genom upptäckten af 

 Taylors och Maclaurins serier bragtes teorin slutligen till en 

 grad af fulländning, som efter utseendet lemnade föga öfrigt att 

 önska. Också var man ej sen att begagna sig af de erhållna 

 resultaten inom öfriga områden af den matematiska vetenskapen. 

 Ofta var det af nöden att transformera en funktion, innan vissa 

 analytiska operationer, t. ex. en integration eller dylikt, på den- 

 samma kunde företagas, och dervid låg det naturligtvis nära till 

 hands att utveckla funktionen i en oändlig potensserie; man 

 erhöll ju derigenom en form, som icke allenast efter utseendet 

 var särdeles elegant, men som dertill medgaf ett omedelbart 

 verkställande af differentiationer eller integrationer. Och äfven 



