74 ENESTRÖM, ETT KONVERGENSKRITERIUM. 



S = T+ T' + T" + T" + , 



S' ==. r + T" + T" + , 



hvaraf följer, att 



S' ^S~ T, S" = 5' — r, o. s. v. 



Slutligen kallar han » gränsvärdet af S, då ^==00, »den sista 

 summan» {ultima siwima eller ultima summarum). 



Sedan han derefter till en början angifvit den approximativa 

 summan af några speciela serier, framställer han i sats 5 pro- 

 blemet att finna serier, som kunna exakt summeras. På direkt 

 väg är detta problem naturligtvis, afven med vetenskapens nu- 

 varande hjelpraedel, generelt taget olösligt; också kan Stirling 

 endast lemna en indirekt metod för sådana seriers erhållande. 

 Han antager nemligen en godtycklig relation mellan S och aS', och 

 härleder derur eqvationer dels mellan T och T\ dels mellan aS 

 och T; den förra af dessa eqvationer bestämmer tydligen de 

 successiva termerna i serien, den senare åter angifver seriens 

 summa. Om således den antagna eqvationen vore 



{z-n)S = {z-l)S\ (1) 



blir, enär 



i^z-n)S = {z—l){S—T), 

 eller 



^-Bi^' (2) 



således 



derför enligt eqv. (1) 



n — 1 



{z-n)T=zT' (3). 



Låter man nu n vara = 2, antager att den första termen i 

 serien svarar mot ^ — 5, och låter denna term vara =: 5— j, så 

 blir serien enligt eqv. (3) 



J_ J_ A. L_ 



3.4' 4.5' 5.6' ' (a + 3)(s + 4)' 



och seriens summa enligt eqv, (2): 



4 ^ = A 

 3.4 3 



