ÖFVERSIßT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1879, N:0 9. 75 



Emellertid inser man lätt, att denna metod vid användningen är 

 underkastad vissa inskränkningar. Ty om man godtyckligt an- 

 tager en eqvation mellan *S och S', så kan det naturligtvis in- 

 träffa, att den derar erhållna serien är divergent. Om t. ex. 



2zS = (z + 1)S', 

 så blir ^-, , 



r 



hvilken eqvation tydligen representerar en divergent serie. Men 

 å andra sidan kan det äfven inträffa, att om också eqvationen 

 mellan S och S hänvisar på en konvergent serie, denna series 

 summa dock ej är = S. enär öfvergången från S till T innebär 

 en förtäckt iinit differentiation, och således summan lika väl kan 

 vara = ;S + en konstant. Om t. ex. först 



8(^2 + 2z) = S'(z^- + 2z + 1), 

 så blir genom direkt lösning af denna differenseqvation 



och således 



rp k 



(2 + 1)' 



d. v. s. serien är, om den första termen antages svara mot 2;= 1, 



k k k 

 172' 273' 374' 



Men summan af denna serie är icke 



S = 2Ä;, 



utan 



»S — k ^= k. 



Och om vi vidare antaga relationen mellan aS och S' vara 



&2-5'(^- — 1), 

 så blir ^ 



.S = ~ ^^^ k\ 



z 



följaktligen 



d. v. s. den motsvarande serien, om första termen svarar mot 2 = 2, 

 273' 374' 475' 



