78 ENESTRÖM, ETT KONVERGENSKRITERIUM. 



1 ^ ^ ^^ ^ '^ 



8 ■ 24 * 48 ■ 80 * 120 



en ändlig och från noll skiljd storhet. Ty i detta fall, tillägger 

 Stirling, uttrycker ä icke summan från och med T in infini- 

 tum, utan summan från T till seriens början; således blir den 

 sista summan just ofvan anförda oändliga produkt. Nödvändig- 

 heten af en sådan förändring i betydelsen af S visar sig tydligt, 

 om man ur eqv. (4) söker relationen mellan S och T; denna 

 befinnes nemligen vara 



en eqvation, som tydligen är orimlig, enär derur skulle följa, att 

 summan af en serie positiva storheter vore negativ. Deremot 

 erhåller man den rimliga eqvationen 



S = 4T(z''+z), 

 om man sätter 



S = Ta+ Ta^l + + Z-l , 



och således 



S'^T„+ T,+i + + T,_i + T,. 



För att vidare förklara detta väljer Stirling de båda eqva- 

 tion erna 



Sz^-=^S'(z'—l), 

 och 



Sz - S'(z + 1), 



samt anmärker, att dessa båda gifva samma relation mellan T 



och T', nemligen 



Tz= T'(z + 2), 



men att ur den förra framgår 



S = — T(z^ — 1) (5) 



och ur den senare 



S = Tiz +1) (6). 



Vill man nu söka göra det möjligt att hänföra dessa båda eqva- 

 tioner till en och samma serie, kan detta ske genom att i eqv. 

 (5) ändra tecknet för högra ledet, samt låta S i denna eqv. 

 betyda summan af termerna i serien från början till T exclusive. 

 Sätter man t. ex. första termen = ^^^ ^^"' serien 



J_ J_ J_ J_ _1_ 



1.2' 2.3' 3.4' 4.5' 5.6' 



