80 ENESTRÖM, ETT KONVERGENSKRITERIUM. 



Om w^ är bestämd genom eqv. (7) och W genom eqv. (8), 

 så är IV 



noll för r/i>l, samt för w= 1, a<6'. 



en ändlig, från noll skiljd storhet för m=l, a=^c. 



oändlig för m<l, samt för «i=l, a>>6'. 



Granskar man nu först det af Stirling lemnade beviset, så 

 kan visserligen den anmärkningen göras, att han godtyckligt 

 postulerat en speciel form för funktionen *S, men om man dervid 

 tager i betraktande, att funktionsteorin ännu var nästan helt och 

 hållet en terra incogtiita, samt dertill att före Stirling knappast 

 någon annan oändlig produkt blifvit behandlad än just den af 

 honom såsom exempel anförda — som bekant hade redan Wallis 

 funnit dess värde vara = förhållandet mellan den omskrifna 

 qvadraten och cirkelns yta, så torde man ej kunna frånkänna 

 beviset en viss grad af skarpsinnighet. B vad åter sjelfva satsen 

 angår, kan man dereraot ingenting annat invända, än att Stir- 

 ling ej uttryckligen anmärkt, att om m = 1 och a = c, icke 

 samtidigt alla koefficienterna i täljaren få vara lika med mot- 

 svarande koefficienter i nämnaren, enär för detta fall W antager 

 den indeterminerade formen 1 , samt att han ej synes tagit i 

 betraktande det fall, då m är negativ och särskildt = — 1. 

 Skulle man vilja komplettera kriteriet, finner man utan svårighet, 

 att dess lydelse blir: 



1 2 + «2 +02 + &0. 



^^' "" "^ * ^ b-\ ^-2 77' 



2 + C2 + «2 + &C. 



der täljaren ej är identisk med nämnaren, och w, ej blir noll 

 eller oändlig för något af värdena O, 1, 2, 3 , samt om 



W — 10^ . lOy . IÜ.J, . Wo in inf., 



så är W . 



noll, för m numeriskt >1, samt för m numeriskt = 1, a<c, 

 ändlig men ej noll, för m = l, a = c, 



oändlig för m numeriskt <1 samt för 7n numeriskt =1, a>6', 

 indeterminerad, för m = — 1, a = c. 



