ÖrVERSIGT XF K. VETEXSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAK 18 79, X:0 9. 81 



Beviset för satsen eger tydligen på analysens nuvarande stånd- 

 punkt alldeles inga svårigheter. Ty om m är numeriskt > 1, 

 måste det tydligen gifva en ändlig storhet h så beskaffad att 

 w^ och alla följande faktorer äro hvar för sig numeriskt mindre 

 än a, då « är ett egentligt bråk, hvaraf följer, att W ej kan 

 vara större än 



lim. K . a , 



och således är lika med noll. Genom ett liknande resonnemang 

 kan naturligtvis ådagaläggas, att för m numeriskt <i I [V blir 

 oändlig. Skulle åter m vara = 1, så bildar man serierna 



der 



<^0' "^1' "-'2' • 

 Vq^, V^^, l'.f, 



, {a — c)z + (b — d)z + &c. 

 V, ^ W, - I == — , 



z + cz i- dz + &c. 



och observerar, att termerna i den första af de tre serierna 

 slutligen blifva alla af samma tecken, samt att de båda öfriga 

 konvergera för hvarje relation mellan a och c. Man finner då, 

 att för a < c, summan af den första serien är — co, således 

 W= O, att för a — c denna summa är finit, således W en finit 

 från noll skiljd storhet, och att slutligen för a^c samma summa 

 är -fe», således I'I'^ oändlig. Hvad ändtligen specialfallet ?n== — 1 

 angår, så är af det föregående klart, att W är noll för a < c, 

 oändlig för a > c, samt att för a = c numeriska värdet af W 

 är finit, men att W sjelf är multiplicerad med faktorn ( — l)°° 

 och således en indeterminerad storhet. 



Vilja vi nu vidare gifva åt kriteriet en sådan form, att dess 

 tillämplighet på serier omedelbart faller i dagen, så böra vi först 

 observera, alt Stirlings ultima summa i dess först gifna be- 

 tydelse på modernt matematiskt språk kan återgifvas med »limes 

 för resttermen», och att således hos en serie ultima summa = O 

 betyder konvergens, ultima summa^O divergens. Det är visser- 

 ligen sant, att Stirling sjelf aldrig bestämdt angifvit dessa 



Öfcers. af K. Vet.-Akad. Förh. Arg. 36. N:o 9. 6 



