82 ENESTRÖIM, ETT KONVERGENSKRITERIUM. 



uttryck såsom identiska, men tydligen måste han derom hatVa 

 egt kännedom ^). Då han emellertid användt symbolen *S äfven 

 i en annan betydelse än den ursprungliga, och med anledning 

 häraf ultima summa i vissa fall måste betyda, icke limes för 

 resttermen utan summan af hela serien, så blir här en för- 

 beredande undersökning af nöden, ehuru blott för det fall att 

 m = 1, a = c. Ty om m är numeriskt > 1, eller m numeriskt 

 = 1 och a <C c, så är ultima summa noll, således serien konver- 

 gent, vare sig dermed skulle menas limes för resttermen eller 

 hela serien; på samma sätt är serien i hvarje fall divergent, om 

 m är numeriskt < 1, eller m numeriskt = 1 och a^ c, samt 

 indeterminerad om ?n. = — 1, a —- c. 



Antaga vi då m = 1, a = c, så blir, enligt hvad Stirling 

 bevisat 



S =A + -+ -^ + (9) 



således 

 och 



z + 1 (z + 1)' 



r = s-S' = ij(i-^j) + c(-i-^,) + ...(iO) 



Men då serien tydligen är sådan, att till slut alla termer få 

 samma tecken, måste för tillräckligt höga värden af z, T och S 

 blifva af samma tecken, hvilket åter förutsätter, att A och B 

 äro af samma tecken. Ar detta ej fallet, innebär således det 

 samtidiga antagandet af eqv. (9) och (10) en orimlighet, hvilken 

 dock kan aflägsnas genom att åt S gifva den förändrade bety- 

 delsen; härigenom öfvergår eqv. (10) till 



r=-s + s' = -B(i-^^)-c(l-^,)- 



Men denna eqvation representerar tydligen enseriejhvarsresttermär 



') Den förste, som bestämeli, formulerade vilkoret för konvergens under formen 



limes för resttermen = O, 



var Euler i ofvan citerade De Progressionibus Harmonicis Observationes, 



sid. 151: Conseqvitur, si id quod ex continuatione ultra terminum infinitesimum 



oritur, sit finitre magnitudinis, summam seriei neeessario infinitam esse debere. 



