84 ENESTRÖM, ETT KONVERGENSKRITERIUM. 



2d—l ( 1 26—2 



7" (a-c)z + \b - d + {a — c){8 -1 + a)jz +... 



-' (rt-c)3 + [b-d+{a-c){e + c)\z + 



hvaraf enligt Gauss' kriterium följer, att serien är konvergent 

 för a<iG, divergent for a^c. Skulle vidare a vara =^ c, be- 

 stämmer man de följande termerna i täljaren och nämnaren, 

 samt finner då enligt samma kriterium, att serien är konvergent, 

 så snart täljaren ej är identisk med nämnaren. Slutligen kan 

 specialfallet m = — 1 lätt undersökas omedelbart ur eqv. (11). 

 Vilja vi nu till slut med ledning af det föregående fastställa 

 värdet af Stirlings kriterium i vetenskapligt hänseende, så måste 

 vi tillerkänna detsamma i fråga om oändliga produkter samma 

 vigt, som Gauss' kriterium eger för oändliga serier, och det är 

 ganska egendomligt att redan i början af 1700-talet finna ett 

 sådant kriterium för produkter, men först nära ett århundrade 

 senare^) det motsvarande kriteriet for serier, oaktadt studiet af 

 dessa senare historiskt föregått studiet af de förra. Hvad åter 

 angår kriteriets betydelse för oändliga serier, så kan deremot 

 denna ej uppskattas särdeles högt, ty visserligen gifver kriteriet i 

 hvarje fall ett bestäm dt svar, men då det är inpassadt i en så 

 artificiel form, är det naturligtvis ytterst sällan användbart på 

 en serie, der såsom vanligen är fallet den allmänna termen är 

 gifven. Och då dessutom det blifvit framstäldt under en mindre 

 tilldragande form, så har det hittills blifvit förbisedt icke blott 

 af dem, som behandlat den algebraiska analysen, utan äfven af 

 matematikens historieskrifvare. Emellertid torde af den nu gifna 

 framställningen vara klart, att kriteriet icke blott ur historisk syn- 

 punkt är af stort intresse, utan äfven i rent systematiskt hän- 

 seende kan förtjena någon uppmärksamhet. Det har derföre 

 synts oss tillbörligt att genom denna lilla uppsats söka godtgöra 

 ett enligt vår åsigt oförtjent förbiseende. 



') Disquisitiones gener ales circa seriem infinitam 



^ a{a + l)ß{ß + l) c>{a + V){a + 2)ß {ß + \){ß + 2) 3 



^ + 1.7"^+ I.2.7O. + I) "'"'^ 1.2.3.y(y + l)(y + 2) ^ + ^t"^" 

 Auctore Carolo Fkiderico Gauss. — Comment. soc. reg. scitnt. Gottingensis 

 recentiores. Vol. II [1811—13). Goitingce 1813 s. 19—23. 



