8 ENESTRÖM, UPPTÄCKTEN AF DEN EüLERSKA SÖMMATIONSFORMELN. 



Beviset för denna formel leranar Maclaurin först i andra boken 

 (art. 828 — 830). Han utgår härvid från en i art. 751 fram- 

 ställd sats, nemligen att om y kan' uttryckas under formen 



ij ^ A ^ Bz + Gz"- ■\- Dz'^ ^ , 



sa ar 



A = E, B^^, C 



1.2 



o. s. v., 



då E^ É, É, o. s. v. utmärka värdena af ?/, ?/, ?/, o. s. v. för 

 z = 0. Denna sats, som tydligen innehåller ingenting annat än 

 »Maclaueins serie», bevisas här genom att successivt bestämma 

 fluxionerna af y och sedan sätta 2 = 0. Nu multiplicerar Mac- 

 laurin på ömse sidor med z, då således 



yz 



Ez + ^ + 



1.2 



+ 



samt tager fluenterna, och erhåller efter utförande af operatio- 

 nerna på högra ledet 



Éz^ Éz 



fluenten yz = Ez + 



+ 



+ 



1.2.Z 1.2.3.Z' 

 Sätter man i denna formel för enkelhetens skull 2;=! och z = \, 

 utbyter E mot a, och tolkar resultatet geometriskt, så framgår 



härur följande sats:. 



Fig. 2. 



J T3 



Om FEf (fig. 2) är 

 en godtycklig kurva,, 

 der abskissan AP^=^z^ 

 ordinatan PM = y, och 

 2=1, AB=\, AF=a, 

 samt ytan AFEB=A^ 



sa ar 



eller 



A 



^' + 2 "^ 6 "^ 24 "*■ 120 "^ 



(Q) 



2 6 24 120 • ' - 



Låter man nu vidare B, C^ D, E, o. s. v. vara de ytor, hvilka 

 uppkomma genom att såsom ordinator sätta y, y, y, y-, o. s. v. 

 i stället för y, så blir på samma sätt 



