10 ENESTUÖM, UPPTÄCKTEN AF DEN EÜLERSKA SUMMATIONSFORMELN. 



samt låta /?, å, ^, o. s. v. beteckna denna qvantitets successiva 

 fluxioner af udda ordningstal, så blir 



^ -^^ i) ■" 10 "Ton "*" 



2 ^ 12 720 ' 30240 



Afsätter man nu på abskissaxeln ytterligare ett antal stycken 

 BC = CD = .... = AB = I, drager ordinator genom dessa; 

 punkter, låter S vara summan af AF, BE, CK, BL, o. s. v. 

 ända till den ordinata som närmast föregår af, sätter 

 ytan AafF = A, 

 af— AF= a, 

 samt låter ß, d-> t-, o. s. v. beteckna fluxionerna af a af udda 

 ordningsnummer, så är det tydligt att man ur föregående formel 

 genom att successivt sätta a = BC, CK, o. s. v. samt sedan 

 addera erhåller 



q_ A ü, A ^o. "^ rS^ 



"^ — ^ 2 12 720 ' 30240 ^ -^ 



Vill man uttrycka samma sats utan att på förhand antaga 5 = 1, 



och z — \, så blir 



4._^__^ zß__ z^ä z^C z^ 



~~ 2 12 z 7200' 302402 ' 1209600s' 

 Sedan Maclaurin härefter visat sin formels användbarhet 

 vid åtskilliga seriesummeringar, fäster han i art. 847 uppmärk- 

 samheten derpå, att de numeriska koefficienterna i formeln äro 

 identiska med dem, som ingå i serieutvecklingen af 



eN 



der A^ betyder det tal, hvars naturliga logaritm är e. Ty om 

 man låter den gifna kurvan vara en logaritmika, så blir högra 

 ledet i eqv. (S) 



H 



1 +4- + Ih-^ + 



2 ' 12 720 ' 30240 • • • • 

 under det venstra ledet innehåller en geometrisk serie, hvilkens 

 summa befinnes Tara 



N 

 N—V 



Atergifva vi på nu gängse matematiskt språk Maclaurins 

 bevisföring, så blir gången deraf tydligen följande. 



